Question

a sequência (a,b,18) é uma P.A e a sequência (50,b,a) é uma P.G. Determine os valores de a e b

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Gustavo, que a resolução é simples, embora um pouquinho trabalhosa.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
São pedidos os valores de "a' e "b" sabendo-se que:

i) A sequência (a; b; 18) é uma PA e a sequência (50; b; a) é uma PG.

ii) Veja que a razão de uma PA é constante e é encontrada com a subtração de cada termo antecedente do seu respectivo consequente. Logo, para a PA teremos:

18 - b = b - a   ---- passando "-b" para o 2º membro, teremos:
18 = b - a + b --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
18 = 2b - a    -- ou, invertendo-se:
2b - a = 18
- a = 18 - 2b --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
a = 2b - 18       . (I)

iii) Por sua vez, a razão de uma PG é encontrada pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente. Então para a PG, teremos que:

a/b = b/50 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
50a = b² ----- isolando "a", teremos:
a = b²/50       . (II)

iv) Mas conforme a expressão (I), temos que "a = 2b-18".
Então vamos substituir "a" por esse valor na expressão (II) acima.
Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:

a = b²/50 ---- substituindo-se "a" por "2b-18", teremos:
2b-18 = b²/50 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
50*(2b-18) = b² --- efetuando este produto, teremos;
100b - 900 = b² ---- passando todo 1º membro para o 2º, teremos:
0 = b² - 100b + 900 ----- ou, invertendo-se, teremos:
b² -100b + 900 = 0 --- note que se você aplicar Bháskara, teremos as duas seguintes raízes:

b' = 10
b'' = 90

v) Agora vamos procurar o valor de "a". Para isso , vamos na expressão (I), que é esta:

a = 2b - 18

v.1) Para b = 10, teremos:

a = 2*10 - 18
a = 20 - 18
a = 2 <--- Este será o valor de "a", se b = 10

v.2) Para b = 90, teremos:

a = 2*90 - 18
a = 180 - 18
a = 162 <--- Este será o valor de "a", se b = 90.

vi) Agora vamos testar os valores de "a" e de "b" em cada uma das progressões:

vi.1) Para a = 2 e b = 10, teremos a PA (a; b; 18):

(2; 10; 18) <--- Perfeito. Forma uma PA crescente de razão (r) igual a "8".

vi.2) Para a 2 e b = 10, teremos a PG (50; b; a):

(50; 10; 2) <--- Perfeito. Forma uma PG decrescente de razão (q) igual a "1/5".

vi.3) Para a = 162 e b = 90 teremos na PA (a; b; 18):

(162; 90, 18) <--- Perfeito. Temos uma PA decrescente de razão (r) igual a "-72".

vi.4) Para a = 162 e b = 90, teremos para a PG (50; b; a):

(50; 90; 162) <--- Perfeito. Temos uma PG crescente de razão (q) igual a 1,8.

vii) Como no enunciado da questão não há nenhuma observação se tanto a PA como a PG terão que ser crescentes ou decrescentes. então os valores de "a' e "b" poderão ser os seguintes:

a = 2; e b = 10.
ou
a = 162; e b = 90.

Em ambas s hipóteses acima, as sequências serão uma PA e uma PG.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.