Question

A sequência (8x, 5x-3, x+3,x) é uma progressão gramática de termos positivos. Qual é sua razão ?

Answer 1

Numa progressão geométrica, a razão entre os termos consecutivos deve ser constante. Assim, devemos ter

$\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{a_{3}}{a_{2}}=\dfrac{a_{4}}{a_{3}}\\ \\ \\ \dfrac{5x-3}{8x}=\dfrac{x+3}{5x-3}=\dfrac{x}{x+3}$


Resolvendo a primeira igualdade, temos

$\dfrac{5x-3}{8x}=\dfrac{x+3}{5x-3}\\ \\ \left(5x-3 \right )\cdot \left(5x-3 \right )=8x \cdot \left(x+3 \right )\\ \\ 25x^{2}-30x+9=8x^{2}+24x\\ \\ 25x^{2}-8x^{2}-30x-24x+9=0\\ \\ 17x^{2}-54x+9=0\\ \\ 17x^{2}-51x-3x+9=0\\ \\ 17x \cdot \left(x-3 \right )-3\cdot \left(x-3\right)=0\\ \\ \left(x-3 \right )\cdot \left(17x-3 \right )=0$

$\left(x-3 \right )\cdot \left(17x-3 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x-3=0&\text{ ou }&17x-3=0\\ \\ x=3&\text{ ou }&17x=3\\ \\ \end{array}\\ \\ \boxed{ \begin{array}{rcl} x=3&\text{ ou }&x=\dfrac{3}{17} \end{array} }$


Testando as duas soluções na segunda igualdade, temos

a) para $x=3$

$\dfrac{x+3}{5x-3}=\dfrac{x}{x+3}\\ \\ \dfrac{\left(3 \right )+3}{5 \cdot \left(3 \right )-3}=\dfrac{\left(3 \right )}{\left(3 \right )+3}\\ \\ \dfrac{6}{15-3}=\dfrac{3}{6}\\ \\ \dfrac{6}{12}=\dfrac{3}{6}\\ \\ \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\;\;\;\;\text{(verdadeiro)}$


Logo, $x=3$ é uma solução para o problema.


b) para $x=\dfrac{3}{17}$

$\dfrac{x+3}{5x-3}=\dfrac{x}{x+3}\\ \\ \dfrac{\left(^{3}\!\!\diagup\!\!_{17} \right )+3}{5\cdot \left(^{3}\!\!\diagup\!\!_{17} \right )-3}=\dfrac{\left(^{3}\!\!\diagup\!\!_{17} \right )}{\left(^{3}\!\!\diagup\!\!_{17} \right )+3}\\ \\ \dfrac{3+3 \cdot 17}{5\cdot 3-3\cdot 17}=\dfrac{3}{3+3\cdot 17}\\ \\ \dfrac{3+51}{15-51}=\dfrac{3}{3+51}\\ \\ \dfrac{54}{-36}=\dfrac{3}{54}\;\;\;\;\text{(falso)}$


Logo $x=3$ é a única solução para o problema.


A P.G. encontrada para $x=3$ é

$\left(24,\,12,\,6,\,3 \right )$