Question

a sequência 2 vírgula x vírgula Y vírgula zero vírgula oito é a progressão geométrica dessa forma o valor da expressão x ponto z + y =

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dalva, que a resolução parece simples porém um pouco trabalhosa.

i) Pede-se o valor de "xz + y", sabendo-se que a seguinte sequência é uma PG:

(2; x; y; z; 8) ---- Veja: se esta sequência é uma PG, então deveremos ter isto:

8/z = z/y = y/x = x/2

ii) Agora vamos tomar as igualdades acima de duas em duas. Assim, teremos:

ii.1) Para y/x = x/2, teremos:

y/x = x/2 --- multiplicando-se em cruz, teremos:

x² = 2y ---- isolando "x", teremos:

x = ± √(2y) . (I)

ii.2) Para z/y = y/x teremos:

z/y = y/x --- multiplicando-se em cruz, teremos;

y² = zx ---- passando "zx" para o 1º membro, teremos:

y² - zx = 0 . (II)

ii.3) Para 8/z = z/y, teremos:

8/z = z/y --- multiplicando-se em cruz, teremos;

z² = 8y

z = ± √(8y) . (III)

ii.3) Agora vamos substituir as expressões (I) e (III) na expressão (II), que é esta:

y² - zx = 0 ---- substituindo-se "z" por √(8y) e substituindo-se "x" por √(2y), teremos:

y² - √(8y)*√(2y) = 0

y² - √(8y*2y) = 0

y² - √(16y²) = 0 ---- note que √(16y²) = 4y. Logo:

y² - 4y = 0 ---- vamos colocar "y" em evidência, ficando:

y*(y - 4) = 0 ---- daqui você já poderá concluir que:

ou y = 0 ---y' = 0

ou y-4 = 0 ---> y'' = 4.

Como parece que a questão (embora não tenha informado nada) só está considerando as raízes maiores do que zero, entáo teremos que o valor de "y" será:

y = 4 <--- Este é o valor de "y".

iii) Agora vamos na expressão (II) e vamos substituir "y" por 4. A expressão (II) é esta:

y² - zx = 0 ---- substituindo-se "y" por "4", teremos:

4² - zx = 0

16 - zx = 0 ---- passando "16" para o 2º membro, temos:

-zx = - 16 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos:

zx = 16 <--- Este é o valor de "zx".

iv) Agora, finalmente, vamos para a soma pedida de "zx + y". Assim, como vimos que zx = 16 e que y = 4, teremos:

zx + y = 16 + 4

zx + y = 20 <--- Esta é a resposta. Opção "c".

v) Observação importante: fizemos tudo da forma como vimos aí em cima, apenas para deixar patenteado que há várias formas de encontrar a resposta que a questão pede. Mas poderíamos ter chegado a essa mesma resposta de forma bem mais rápida. Veja que tínhamos isto:

8/z = z/y = y/x = x/2 ----- como todas essas razões são iguais entre si, então poderíamos ter feito da seguinte forma:

v.i) Primeiro igualaríamos a primeira razão (8/z) com a última razão (x/2). Fazendo isso, teríamos:

8/z = x/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

2*8 = xz ---- desenvolvendo, teremos:

16 = xz --- ou, invertendo-se:

xz = 16 <---Veja que já encontramos o valor de "xz".

v.2) Agora tomaremos as razões: z/y = y/x . Assim teremos:

z/y = y/x ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

y*y = x*z

y² = xz ---- como já vimos que xz = 16, teremos:

y² = 16 ---- isolando "y" teremos:

y = ± √(16) ----- como √(16) = 4, teremos:

y = ± 4 ---- mas como já tivemos oportunidade de informar antes, como o enunciado da questão (embora não tenha deixado isso dito) parece que só está admitindo valores maiores do que zero, então teremos que:

y = 4.

v.3) Assim, o valor de xz + y será (já vimos que xz = 16 e y = 4):

xz + y = 16 + 4

xz + y = 20 <--- Veja que a resposta é a mesma a que chegamos antes.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.