Question

A sequência (1; 2a+1; b-1) é uma progressão aritmética. A sequência (3; b+2; b^2-52) é uma expressão geométrica. Sabendo que ''b'' é um numero positivo, então a+b vale:

Answer 1

Se a sequencia (1; 2a+1; b-1) é uma PA, sua razão deve se manter constante, sendo assim:

$razao~~=~~razao\\\\\\a_2-a_1~=~a_3-a_2\\\\\\(2a+1)-1~=~(b-1)-(2a+1)\\\\\\2a~=~b-2a-2\\\\\\\boxed{4a-b~=~-2}$

Se a sequencia (3; b+2; b^2-52) é uma PG, sua razão também deve ser mantida constante e, sendo assim:

$razao~=~razao\\\\\frac{a_2}{a_1}~=~\frac{a_3}{a_2}\\\\\\\frac{(b+2)}{3}~=~\frac{(b^2-52)}{(b+2)}\\\\\\Multiplicando~Cruzado\\\\\\(b+2).(b+2)~=~3~.~(b^2-52)\\\\\\b^2+4b+4~=~3b^2-156\\\\\\3b^2-b^2-4b-156-4~=~0\\\\\\2b^2-4b-160~=~0\\\\\\b^2-2b-80~=~0\\\\\\Aplicando~Bhaskara\\\\\\\Delta~=~(-2)^2-4.1.(-80)~=~4+320~=~\boxed{324}\\\\\\b'~=~\frac{2+\sqrt{324}}{2~.~1}~=~\frac{2+18}{2}~=~\frac{20}{2}~=~\boxed{10}$

$b''~=~\frac{2-\sqrt{324}}{2~.~1}~=~\frac{2-18}{2}~=~\frac{-16}{2}~=~\boxed{-8}$

O enunciado nos garante que "b" é positivo, logo b'' deve ser descartado e, portanto, temos que "b" vale 10.

Utilizando agora a primeira equação achada (equação das razões da PA), temos:

$4a-b~=~-2\\\\\\4a-10~=~-2\\\\\\4a~=~-2+10\\\\\\a~=~\frac{8}{4}\\\\\\\boxed{a~=~2}$

Determinando a+b pedido:

$a+b~=~2+10~=~\boxed{12}$

Resposta: Letra D