Question

A reta y = mx+2 é tangente à circunferência de equação (x-4)² +y² =4. A soma dos possíveis valores de m é:

Answer 1

Para determinar os valores de m, vamos calcular a distância entre a reta e o centro da circunferência, que deve ser igual o raio, ou seja:

d = | axo + byo + c | ÷ √(a² + b²) = r

onde:

xo e yo é o ponto do centro da circunferência;

a, b e c são os coeficientes da reta;

r é o raio da circunferência.

A circunferência possui a seguinte fórmula geral: (x² - xo) + (y² - yo) = r²

Desse modo, temos que:

xo = 4

yo = 0

r = 2

Além disso, vamos analisar a reta, que tem fórmula geral: ax + by + c = 0

Então:

a = m

b = -1

c = 2

Com todos os dados, substituímos na equação:

| m×4 + (-1)×0 + 2 | ÷ √(m² + (-1)²) = 2

| 4m + 2| ÷ √(m² + 1) = 2

| 4m + 2| = 2 × √(m² + 1)

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

16m² + 16m + 4 = 4 × (m² + 1)

16m² + 16m + 4 = 4m² + 4

12m² + 16m = 0

m × (12m + 16) = 0

Desse modo, temos duas opções:

m = 0 ou

12m + 16 = 0 → m = -4/3

Portanto, a soma dos possíveis valores de m é: -4/3.

Answer 2

De onde veio 12,de onde veio o m=-4/3?