Question

A reta y–3x+10=0 tangencia, no ponto M, a circunferência C de equação x2+y2=10. A reta y=−13⋅x+p intercepta C nos pontos M e Q. Determine:

a) o valor de p.

p=


b) as coordenadas dos pontos M e Q.

M= ( , )
Q= ( , )​

Answer 1

Resposta:

$p=38\\\\M(3,-1)\\\\Q(\frac{239}{85},\frac{123}{85})$

Explicação passo-a-passo:

O ponto M pertence à circunferência C e à reta y = 3x - 10 ⇒ y² = (3x - 10)²

y² = 9x² - 60x + 100

x² + y² = 10 ⇒ y² = 10 - x²

Logo: 9x² - 60x + 100 = 10 - x²

9x² + x² - 60x + 100 - 10 = 0

10x² - 60x + 90 = 0

x² - 6x + 9 = 0

Δ = (-6)² - 4.1.9

Δ = 36 - 36

Δ = 0

x = -(-6)/2.1

x = 3

y = 3x - 10

y = 3.3 - 10

y = -1

M(3, -1)

O ponto M pertence à reta y = -13x + p

-1 = -13.3 + p

-1 = -39 + p

p = -1 + 39

p = 38

Logo, y = -13x + 38

Cálculo do ponto Q

y² = (-13x + 38)²

y² = 169x² - 988x + 1444

y² = 10 - x²

169x² - 988x + 1444 = 10 - x²

169x² + x² - 988x + 1444 - 10 = 0

170x² - 988x + 1434 = 0

85x² - 494x + 717 = 0

Δ  = (-494)² - 4.85.717

Δ = 244036 -243780

Δ = 256

$x=\frac{494+16}{2.85}\\\\x=\frac{510}{170}\\x = 3~~n \tilde ao~serve, ~pois~-13.3+38=\sqrt{10-3^2} ,~fica~-1=1 \\\\x=\frac{494-16}{170}\\\\x=\frac{478}{170}\\\\x=\frac{239}{85}\\\\y=-13.\frac{239}{85} +38\\\\y=\frac{-3107+3230}{85} \\\\y=\frac{123}{85} \\\\Q(\frac{238}{85},\frac{123}{85})$