Question

A reta r: y=5x+2 e z=x-6 é ortogonal a reta determinada pelos pontos A(1,0,m) e B(-3,m,2m). Calcular o valor de m.

Answer 1

Resposta:

Temos que:

r: \left \{ {{y=mx+2} \atop {z=x-1}} \right.r:{

z=x−1

y=mx+2

O vetor direção de r é u = (1,m,1).

Como A = (1,0,m) e B = (-2,2m,2m), então, a reta que passa por A e B possui direção v = (-2-1, 2m - 0, 2m - m) = (-3,2m,m)

Do enunciado, temos que as retas são perpendiculares. Então, o produto interno entre u e v tem que ser igual a 0:

<u,v> = 0

(1,m,1)(-3,2m,m) = 0

-3 + 2m² + m = 0

2m² + m - 3 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau pela fórmula de Bháskara:

Δ = 1² - 4.2.(-3)

Δ = 1 + 24

Δ = 25

m = \frac{-1+- \sqrt{25} }{2.2}m=

2.2

−1+−

25

m= \frac{-1+-5}{4}m=

4

−1+−5

m'= \frac{-1+5}{4} = \frac{4}{4} = 1m

′

=

4

−1+5

=

4

4

=1

m"= \frac{-1-5}{4} = \frac{-6}{4} = - \frac{3}{2}m"=

4

−1−5

=

4

−6

=−

2

3