Question

A reta r passa pelo ponto A(4,-3,-2) e é paralela à reta S: x= 1+3t y= 2-4t z=3-t. Se P(m,n,-5) pertence a r determinar m e n. Sei que a resposta é m=13 e n=-15 mas preciso da resolução.

Answer 1

Boa noite.

Primeiramente, pegue o vetor que dá a direção da reta s. Ele também dará a direção da reta r(pois são paralelas). Encontramos esse vetor pegando o valor que acompanha o parâmetro t na equação de s.

$\vec{v}=3\vec{i}-4\vec{j}-\vec{k}$

Podemos então fazer a equação de r, pois temos um ponto dela(A) e sua direção:

$r:\begin{cases}x = 4+3t'\\y=-3-4t'\\z=-2-t'\end{cases}$

Note que usamos um t', pois a rigor, são parâmetros diferentes de s. Temos o valor de z no ponto P, então podemos descobrir o t' correspondente:

$-5 = -2 - t'\\ t' = 3$

Agora substituímos t' = 3 em x e y e descobrimos as outras coordenadas do ponto P.

$m = 4 + 3t'\\ m = 4 + 3\cdot3\\ m = 4 + 9\\ \boxed{m = 13}$

$n = -3-4t'\\ n = -3 - 4\cdot3\\ n = -3-12\\ \boxed{n=-15}$

E esses são os valores procurados.