Question

A reta de inclinação positiva que é tangente à curva y=x^2 e passa pelo ponto (−1,−3) tem inclinação igual a:

R: 2

Answer 1

Essa pergunta me lembra uma questão da espcex, mas enfim, eu comecei utilizando a equação da reta que passa por um ponto qualquer $(y-yo)=m(x-xo)$

Substituindo valores:

$(y-(-3))=m(x-(-1))$

$y+3=mx+m$

$y=mx+m-3$

Como a reta tem um ponto de intersecção com a parábola, então o mesmo valor de y para a reta, é o valor de y para a parábola, bastando apenas substituir uma equação na outra

$x^{2}=mx+m-3$

$-x^{2} +mx+m-3=0$

Agora vem a malandragem do negocio, como a reta é tangente da parábola, essa equação de cima deve ter apenas  UMA raiz, e para isso acontecer deve respeitar a seguinte propriedade: Δ=0 , o qual Δ=b²-4.a.c

$m^{2}-4.-1.(m-3)=0$

$m^{2} +4m-12=0$

E chegamos a outra equação quadrática, para não fazer o delta de novo e a baskara, eu vou resolver por soma e produto, porém você pode fazer do jeito que achar melhor, no caso

$2+(-6)=-4$

$2.(-6)=-12$

Logo, os dois valores para M que temos é 2 e -6, contudo a questão diz que "a reta tem inclinação positiva", então o único valor possível é 2.

Obs: espero ter ajudado, me desculpe se errar alguma coisa.