A respeito do polinômio p(x)=ax^3+bx^2+cx+d sendo a, b, e e d números reais, considere as seguintes afirmativas:
I. Se 1 é raiz de p(x), então a + b + e+ d = 0.
II. O resto da divisão de p(x) por (x - k) é p(k).
IlI. Se a = 0, então p(x) tem duas raízes reais.
IV. Se d = 0, então p(x) possui pelo menos uma raiz real.
Assinale a alternativa correta.
a. Somente as afirmativas lII e IV são verdadeiras.
b. Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
c. Somente as afirmativas lI e IV são verdadeiras.
d. Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.
e. Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Analisando as alternativas a opção correta é a letra B.
Explicação passo a passo:
I. Se 1 é raiz de p(x), então a + b + c + d = 0.
A afirmativa é verdadeira, pois substituindo x = 1 no polinômio obtemos o resto pelo Teorema do Resto da seguinte forma P(1) = 0 = a + b + c + d.
"Na divisão de P(x) por um binômio do tipo x - a, o resto da divisão é P(a)".
II. O resto da divisão de p(x) por (x - k) é p(k).
A afirmativa é verdadeira, pois enuncia exatamente o Teorema do Resto.
IlI. Se a = 0, então p(x) tem duas raízes reais.
A afirmativa é falsa, pois teremos o seguinte polinômio
P(x) = bx² + cx + d, o qual não podemos garantir o valor do discriminante Δ, pois este possui três possibilidades:
Δ > 0 - O polinômio possui duas raízes reais e diferentes.
Δ = 0 - O polinômio possui duas raízes reais e iguais.
Δ < 0 - O polinômio não possui raízes reais.
IV. Se d = 0, então p(x) possui pelo menos uma raiz real.
A afirmativa é falsa, pois independente do valor de d o polinomio é de grau 3 e pelo Teorema Fundamental da Álgebra garante que há três raízes complexas das quais pelo menos uma é real.