Question

A respeito de um triângulo ABC , sabe-se que: M(1,−32) é o ponto médio de BC¯¯¯¯¯¯¯¯ dAB=9 dAC=12 C(1,6) Determine a soma (em decimais) das coordenadas do ponto médio do segmento AB¯¯¯¯¯¯¯¯ , sabendo que as coordenadas de A são números negativos.

Answer 1

As coordenadas de A são: A(-6,2 ; -3,6)

Vamos aos dados/resoluções:  

O ponto médio é o ponto que acaba ficando exatamente meio do segmento, o que acaba dividindo em diversos segmentos, logo temos que se M (1 , -3/2) é o ponto médio de B (x,y) e C (1,56) e com isso:  

X + 1 / 2 = 1  

x + 1 = 2  

x = 1 ;

Y + 6 / 2 = -3/2  

y + 6 = -3

y = -9;

Portanto as coordenadas de B serão (1,-9) e dessa forma, a circunferência de centro B (que acaba passando por a) possui 9 de raio e sua equação será:  

(x - 1)² + (y + 9)² = 9²  

x² - 2x + 1 + y² + 18y + 81 = 81.  

x² + y² - 2x + 18y +1 = 0.

Sendo agora a circunferência C que adentra A com 12 de raio, temos:  

(x - 1)² + (y - 6)² = 12²  

x² - 2x + 1 + y² - 12y + 36 = 144  

x² + y² - 2x - 12y - 107 = 0.

Utilizando a interseção das circunferências, temos que as coordenadas de a serão:

x² + y² - 2x + 18y + 1 = x² + y² -2x - 12y - 107 ;  

18y + 1 = -12y - 107 ⇒ 30y = - 108.  

y = -108 / 30  

y = - 3,6

Finalizando a equação, temos:  

(x - 1)² + (-3,6 + 9)² =

9² ⇒ x² - 2x + 1 + 5,4² =  

81 ⇒ x² -2x + 1+ 29,16 - 81 = 0

-----------------------

x² - 2x -50,84 = 0

Δ = 207,36    

√ 207,36 = 14,4

x' = (2 - 14,4 ) / 2 ;

- 12,4 / 2 ⇒ x' = -6,2

Logo, coordenadas de A são: (-6,2 ; -3,6 )

Espero ter ajudado nos estudos e bebam água :)