Question

A resistência elétrica de um fio com 200 m de comprimento e 0,2 cm de diâmetro é
10 Ω. Determine a resistência elétrica de um fio de mesmo material, mas com diâmetro
de 0,6 cm de comprimento e 150 m.

Answer 1

A resistência elétrica ($R$) de um material é dada pela relação:

$\displaystyle{R = \rho \frac{L}{A}}$

onde $L$ é o comprimento do fio, $A$ é a área da seção transversal do fio e $\rho$ é a resistividade elétrica do material.

No nosso caso, precisamos achar o valor de $\rho$ se quisermos resolver o problema.

Temos a situação onde um fio de 200 metros de comprimento ($L=200\text{ m}$) e com diâmetro de 0,2 centímetros ( $A = \pi r^2=\pi (0.001)^2=0.000001\pi\text{ m}^2$ ) possui uma resistência elétrica de 10 Ohms ($R = 10\Omega$).

Com isso temos que:

$\displaystyle{10\Omega} = \rho \frac{200\text{ m}}{0.000001\pi\text{ m}^2 }}$

$\displaystyle{\rho = 5\pi\times 10^{-8}\Omega \text{m}}$

Achamos a resistividade elétrica do material. Podemos agora achar a resistência que teria o mesmo material caso o comprimento fosse de 150 metros e o diâmetro de 0,6 centímetros.

Se o diâmetro é de 0,6 centímetro, a área da seção transversal será:

$\displaystyle{A = \pi (0.003)^2=0.000009\pi\text{ m}^2=9\pi \times 10^{-6}\text{ m}^2}$

O comprimento é $L = 150\text{m}$

Com isso teremos:

$\displaystyle{R =5\pi \times 10^{-8}\Omega \text{m} \left(\frac{150\text{ m}}{9\pi\times 10^{-6}\text{ m}^2 }\right)}$

$\displaystyle{R =\frac{750\times 10^{-2}}{9 }\Omega}$

$\displaystyle{R \approx0.833\Omega}$

Essa seria a resistência do fio caso este tivesse as dimensões referidas.