Question

a regra do produto nos diz que: sejam f(x) e g(X) funcoes derivaveis em x0, entao o produto delas r(x) = f(x) .g(x)tambem é derivavel em x0e a derivada satifaz a formula r'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x). Sejam as funçoes f(x)=x2-4x+1 e g(x)=-x3+2x, assinale a alternativa que contenha a derivada de r(x):

Alternativas:


Alternativa 1:

r'(x) = 5x4 + 6x3 + 13x2 -8x + 2

Alternativa 2:

r'(x) = -5x4 + 16x3 + 3x2 -16x + 2


Alternativa 3:

r'(x) = -x4 + 12x3 - x + 8


Alternativa 4:

r'(x) = -x4 -x3 + 3x2 -2x + 4


Alternativa 5:

r'(x) = -2x4 + 3x3 + 4x2 + 5x - 1

Answer 1

Resposta:

A opção correta é a alternativa 2.

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos aplicar a regra da derivada de um produto de funções.

$(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$

E também da derivada de uma função polinomial

$y = x^n\Rightarrow y'=n\cdot x^{n-1}$

De acordo com o enunciado temos as seguintes funções:

f(x) = x² - 4x + 1 e g(x) = - x³ + 2x tal que r(x) = f(x) . g(x).

Derivando f(x) = x² - 4x + 1 temos:

f'(x) = 2x - 4

Derivando g(x) = - x³ + 2x temos:

g'(x) = -3x² + 2

Substituindo na regra de derivação do produto obtemos:

r'(x) = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x)

r'(x) = (2x - 4) . (- x³ + 2x) + (x² - 4x + 1) . (-3x² + 2)

Aplicando a propriedade distributiva

r'(x) = - 2x⁴ + 4x² + 4x³ - 8x - 3x⁴ + 2x² + 12x³ - 8x - 3x² + 2

Simplificando os monômios semelhantes

r'(x) = - 5x⁴ + 16x³ + 3x² - 16x + 2