Question

A regra da cadeia é uma técnica para resolver derivadas de uma função composta de duas funções.
Criada por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo
diferencial.

Determine a derivada da função a seguir, utilizando a regra da cadeia: y = a^3 + cos^3 (x).

A ) y' = −3 sen(x) cos2 (x).
B ) y' = 3 sen(x) cos2 (x).
C ) y' = −3 sen(x) cos-2 (x).
D ) y' = 3 sen(x) cos-2 (x).

Answer 1

Resposta:

Regra da cadeia:

$\boxed{\sf f'(k)=\frac{d}{dk}f(k)\cdot \frac{d}{dx}k}$

━━━━━━━━━

$\sf y=a^3+cos^3x$

Aqui iremos derivar em relação a x, portanto considere ''a'' uma constante.

$\sf y'=\frac{d}{dx}(a^3+cos^3x)$

$\sf y'=\frac{d}{dx}a^3+\frac{d}{dx}cos^3x$

$\sf y'=0+\frac{d}{dx}cos^3x$

$\sf y'=\frac{d}{dx}cos^3x$

Pela regra da cadeia, farei k = cos x:

$\sf y'=\frac{d}{dk}k^3\cdot\frac{d}{dx} k$

$\sf y'=3\cdot k^{3-1}\cdot\frac{d}{dx} k$

$\sf y'=3k^2\cdot\frac{d}{dx} k$

Substituindo de volta cos x = k:

$\sf y'=3cos^2x\cdot\frac{d}{dx} cos\,x$

$\sf y'=3cos^2x\cdot(-\,sen\,x)$

$\red{\sf y'=-\,3(sen\,x)(cos^2x)}$

Letra A

Answer 2

A derivada da função   $Y= a^3 + cos^3 (x)$ é   $-3(sen(x))(Cos(x))^2$

Letra A)

• Mas, como chegamos nessa resposta ?

Temos que achar a derivada da seguinte função

$Y= (A^3+Cos^3(x))$

antes de derivarmos é bom sabermos algumas propriedades das derivadas que serão uteis nessa questão

• DERIVADA DE UMA CONSTANTE

$\dfrac{dy}{dx}(N)=0$      (Derivada de uma constante é igual a 0)

• DERIVADA DE UMA POTENCIA

$\dfrac{dy}{dx}(X^N)=N\cdot X^{N-1}$

• REGRA DA SOMA DE DERIVADAS

$\dfrac{dy}{dx}(X+X)=\dfrac{dy}{dx}(X)+\dfrac{dy}{dx}(X)$

• DERIVADA DO COSSENO

$\dfrac{dx}{dy}(Cos(x))= -Sen(x)$

com isso em mente vamos a questão

Queremos encontrar a derivada dessa função ou seja o $\dfrac{dy}{dx}$

( vou assumir X como sendo uma variável e A como sendo uma constante qualquer ja que a questão não fala nada a respeito )

vamos lá queremos achar

$\dfrac{dy}{dx} (A^3+Cos^3(x))$

Podemos separar essa derivadas em partes ja que estão somando

$\dfrac{dy}{dx} (A^3+Cos^3(x))\\\\\\\boxed{\dfrac{dy}{dx} (A^3)+ \dfrac{dy}{dx} (Cos^3(x))}$

Como  a variável é X , A é uma constante logo sua derivada é 0

$\dfrac{dy}{dx} (A^3)+ \dfrac{dy}{dx} (Cos^3(x))\\\\\\0+ \dfrac{dy}{dx} (Cos^3(x)$

$\boxed{\dfrac{dy}{dx} (Cos^3(x)}$

Pronto chegamos no nosso verdadeiro problema, achar a derivada de $Cos^3(x)$ e para achar é ate simples basta sabermos a regra da cadeia

Realmente não sabemos a derivada de $Cos^3(x)$ mas se fosse a derivada de $X^3$ ficaria fácil não?

Isso é justamente a regra da cadeia

Vamos chamar $Cos(x)$ de U é derivar em seguida vamos multiplicar pela derivada do $Cos(x)$

em resumo

$\dfrac{dy}{dx}(U)\cdot du$

$U=Cos(x)\\\\Du= -Sen(x)$

Vamos lá

$\dfrac{dy}{dx} (Cos^3(x)$

$\dfrac{Dy}{Du} (U)^3\cdot \dfrac{Dy}{dx} (U)$

$3U^2\cdot \dfrac{Dy}{dx} (U)$

Substituindo U por Cos(x) temos

$3U^2\cdot \dfrac{Dy}{dx} (U)\\\\3\cdot (Cos(x))^2\cdot \dfrac{dy}{dx} (Cos(x)\\\\\boxed{3(Cos(x))^2\cdot -Sen(x)}$

Podemos reescrever essa expressão de outra forma para bater com as alternativas

$3(Cos(x))^2\cdot -Sen(x)\\\\\boxed{-3(sen(x))(Cos(x))^2}$

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