Matemática, perguntado por paulosimonn1, 5 meses atrás

A regra da cadeia é uma técnica para resolver derivadas de uma função composta de duas funções.
Criada por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo
diferencial.

Determine a derivada da função a seguir, utilizando a regra da cadeia: y = a^3 + cos^3 (x).

A ) y' = −3 sen(x) cos2 (x).
B ) y' = 3 sen(x) cos2 (x).
C ) y' = −3 sen(x) cos-2 (x).
D ) y' = 3 sen(x) cos-2 (x).

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov
4

Resposta:

Regra da cadeia:

\boxed{\sf f'(k)=\frac{d}{dk}f(k)\cdot \frac{d}{dx}k}

━━━━━━━━━

\sf y=a^3+cos^3x

Aqui iremos derivar em relação a x, portanto considere ''a'' uma constante.

\sf y'=\frac{d}{dx}(a^3+cos^3x)

\sf y'=\frac{d}{dx}a^3+\frac{d}{dx}cos^3x

\sf y'=0+\frac{d}{dx}cos^3x

\sf y'=\frac{d}{dx}cos^3x

Pela regra da cadeia, farei k = cos x:

\sf y'=\frac{d}{dk}k^3\cdot\frac{d}{dx} k

\sf y'=3\cdot k^{3-1}\cdot\frac{d}{dx} k

\sf y'=3k^2\cdot\frac{d}{dx} k

Substituindo de volta cos x = k:

\sf y'=3cos^2x\cdot\frac{d}{dx} cos\,x

\sf y'=3cos^2x\cdot(-\,sen\,x)

\red{\sf y'=-\,3(sen\,x)(cos^2x)}

Letra A

Respondido por Sban1
3

A derivada da função   Y= a^3 + cos^3 (x) é   -3(sen(x))(Cos(x))^2

Letra A)

  • Mas, como chegamos nessa resposta ?

Temos que achar a derivada da seguinte função

Y= (A^3+Cos^3(x))

antes de derivarmos é bom sabermos algumas propriedades das derivadas que serão uteis nessa questão

  • DERIVADA DE UMA CONSTANTE

\dfrac{dy}{dx}(N)=0      (Derivada de uma constante é igual a 0)

  • DERIVADA DE UMA POTENCIA

\dfrac{dy}{dx}(X^N)=N\cdot X^{N-1}

  • REGRA DA SOMA DE DERIVADAS

\dfrac{dy}{dx}(X+X)=\dfrac{dy}{dx}(X)+\dfrac{dy}{dx}(X)

  • DERIVADA DO COSSENO

\dfrac{dx}{dy}(Cos(x))= -Sen(x)

com isso em mente vamos a questão

Queremos encontrar a derivada dessa função ou seja o \dfrac{dy}{dx}

( vou assumir X como sendo uma variável e A como sendo uma constante qualquer ja que a questão não fala nada a respeito )

vamos lá queremos achar

\dfrac{dy}{dx} (A^3+Cos^3(x))

Podemos separar essa derivadas em partes ja que estão somando

\dfrac{dy}{dx} (A^3+Cos^3(x))\\\\\\\boxed{\dfrac{dy}{dx} (A^3)+ \dfrac{dy}{dx} (Cos^3(x))}

Como  a variável é X , A é uma constante logo sua derivada é 0

\dfrac{dy}{dx} (A^3)+ \dfrac{dy}{dx} (Cos^3(x))\\\\\\0+ \dfrac{dy}{dx} (Cos^3(x)

\boxed{\dfrac{dy}{dx} (Cos^3(x)}

Pronto chegamos no nosso verdadeiro problema, achar a derivada de Cos^3(x) e para achar é ate simples basta sabermos a regra da cadeia

Realmente não sabemos a derivada de Cos^3(x) mas se fosse a derivada de X^3 ficaria fácil não?

Isso é justamente a regra da cadeia

Vamos chamar Cos(x) de U é derivar em seguida vamos multiplicar pela derivada do Cos(x)

em resumo

\dfrac{dy}{dx}(U)\cdot du

U=Cos(x)\\\\Du= -Sen(x)

Vamos lá

\dfrac{dy}{dx} (Cos^3(x)

\dfrac{Dy}{Du} (U)^3\cdot \dfrac{Dy}{dx} (U)

3U^2\cdot \dfrac{Dy}{dx} (U)

Substituindo U por Cos(x) temos

3U^2\cdot \dfrac{Dy}{dx} (U)\\\\3\cdot (Cos(x))^2\cdot \dfrac{dy}{dx} (Cos(x)\\\\\boxed{3(Cos(x))^2\cdot -Sen(x)}

Podemos reescrever essa expressão de outra forma para bater com as alternativas

3(Cos(x))^2\cdot -Sen(x)\\\\\boxed{-3(sen(x))(Cos(x))^2}

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