Question

A região sombreada da figura a seguir representa a vista frontal da entrada de um túnel de altura OP e largura MN, associada ao plano cartesiano de eixos coordenados x e y e origem O. O eixo Ox indica o nível do solo, e a unidade de medida nos dois eixos é o metro. A curva parabólica MNP, que representa o contorno do túnel, é parte do gráfico da função polinomial de segundo grau y = -0,09x² + 9. Sabe-se que a área A da região MN.OP. A área da entrada desse túnel, em metro sombreada é dada por A = quadrado, é igual a
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Answer 1

Resposta:

A = 120 m²

Explicação passo a passo:

Observe que os valores M e N são as raízes da equação y = -0,09x² + 9. Para acharmos estas raízes faça y=0 e resolva:

-0,09x² + 9 = 0

0,09x²=9

x²=9/0,09

x²=100

x=±√100

x=±10

Desse modo, no gráfico, M = -10 m e N =10 m

Para calcular a área (A) aplicamos a integral definida entre M e N:

$\displaystyle A = \int\limits^N_M {y} \, dx =\int\limits^{10}_{-10} {(-0,09.x^2}+9) \, dx =(\frac{-0,09x^3}{3} +9x)\Big|_{-10}^{10}\\\\\\A =(-0,03x^3 +9x)\Big|_{-10}^{10}=[-0,03(10)^3 +9(10)] -[-0,03(-10)^3 +9(-10)]\\\\\\A =-30+90-(30-90)=120~m^2$