Question

A razão entre o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo é 2/5.Qual é o nome desse polígono?

Answer 1

$Ola'~~ Eduarda \\ \\ A~raz\tilde{a}o~entre~n\acute{u}mero~de~lados~e~diagonais~\acute{e}: \\ \\ \begin{cases}n \acute{u}mero~de~lados-----\ \textgreater \ L \\ n\acute{u}mero~de~diagonais---\ \textgreater \ D \\ Raz\tilde{a}o= \frac{L}{D} = \frac{2}{5} \\ \\~~~~ ==\ \textgreater \ \boxed{ \frac{L}{2}= \frac{D}{5} } \end$

$Da~express\tilde{a}o~ \boxed{\frac{L}{2}= \frac{D}{5} }~~---\ \textgreater \ vamos~fazer~igual~a~um~ \\ constante~(k)~veja: \\ \\ \frac{L}{2}= \frac{D}{5}=k ~~---\ \textgreater \ onde: \\ \\ L=2k ~~---\ \textgreater \ lados\\D =5k~~---\ \textgreater \ diagonais \\ \\ Se~sabe~que~para~calcular~a~f\acute{o}mula~do~n\acute{u}mero~diagonais \\ \acute{e}:\boxed{D= \frac{n(n-3)}{2} }$

$Substituindo~na~formula~(D ) ~~e ~~(L)~temos: \\ \\ 5k= \frac{\not2k(2k-3)}{\not2} ~~---\ \textgreater \ desenvolviendo~temos: \\ \\ 5k=k(2k-3) \\ \\ 5k=2k\²-3k \\ \\ 2k\²-8k=0~~---\ \textgreater \ fatorizando \\ \\ 2k(k-4)=0 \\ k=0~~~~~e~~~~(k-4)=0 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{k=4} \\ Descartamos~para~o~valor~de~(k=0)$

$Agora~ja~que~temos~o~valor~de~[k=4], vamos~substituir~para \\ descobrir~o~nome~desse~pol\acute{i}gono. \\ \\ L=2k~~--\ \textgreater \ onde~[k=4] \\ L=2.4 \\ \\ \boxed{\boxed{L=8}}---\ \textgreater \ oct\acute{o}gono$

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                            Espero ter ajudado!!