Question

A rã Zinza quer ir da pedra 1 até a pedra 10 em cinco
pulos, pulando de uma pedra para a seguinte ou por
cima de uma ou de duas pedras. De quantas maneiras
diferentes Zinza pode fazer isso?

A) 10
B) 35
C) 45
D)84
E)126​

Answer 1

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{{Ola\´\ Gabriel}}}}}$

Questão de análise combinatória => Permutação simples.

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A questão nos diz que a rã pode pular de 1 em 1 ou de 2 e 2 ou de 3 em 3 , e pode dar apenas 5 pulos para chegar até o final , como ela já está na pedra 1 , ela terá que pular apenas 9 casas e não 10 .

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Explicando os tipos de pulos ...

1. De 1 em 1 quer dizer que ela não tem que pular nenhuma pedra , ou seja , ela tem que pular da 1 para 2 , da 2 para 3 , da 3 para 4 e assim sucessivamente.
2. De 2 em 2 quer dizer que ela tem que pular apenas 1 pedra , ou seja , ela tem que pular de 1 para 3 , da 3 para 5 , da 5 para 7 e assim sucessivamente.
3. De 3 em 3 quer dizer que ela tem que pulas apenas 3 pedras , ou seja , ela tem que pular de 1 para 4 , da 4 para 8 .

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Possíveis combinações de pulos :

1+2+2+2+2

1+1+1+3+3

1+1+2+2+3

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Mas note , que em todas essas combinações , a ordem de pulo pode variar , ou seja , iremos permutar todas as possíveis combinações .

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1ª combinação :

São 4 pulos que se repetem , logo será uma permutação de 5 pulos possíveis , tomados a 4 pulos que se repetem.

P₅,₄ = 5!/4!

P₅,₄ = 5

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2ª combinação :

São 3 pulos de 1 em 1 mais 2 pulos de 3 em 3 que se repetem , logo será uma permutação de 5 pulos possíveis , tomados a 3,2 pulos que se repetem.

P₅,₍₃,₂₎ = 5!/3!.2!

P₅,₍₃,₂₎ = 5.4.3!/3!.2!

P₅,₍₃,₂₎ = 5.4/2

P₅,₍₃,₂₎ = 20/2

P₅,₍₃,₂₎ = 10

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3ª combinação :

São 2 pulos de 1 em 1 mais 2 pulos de 2 em 2 , logo será uma permutação de 5 pulos tomados 2,2 pulos que se repetem .

P₅,₍₂,₂₎ = 5!/2!.2!

P₅,₍₂,₂₎ = 5.4.3.2!/2!.2!

P₅,₍₂,₂₎ = 5.4.3/2

P₅,₍₂,₂₎ = 60/2

P₅,₍₂,₂₎ = 30

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Agora , somando todas as combinações permutadas , temos :

5 + 10 + 30 = 45

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Logo são 45 maneiras diferentes .

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Espero ter ajudado!

Answer 2

Resposta:

C) 45

Explicação passo-a-passo:

Se a rã precisa dar 5 saltos para chegar de 1 a 10, de qualquer forma ela terá que passar por 9 pedras até chegar à 10ª, então:

A+B+C+D+E=9

Sendo A, B, C, D e E o número de pedras que a rã salta de uma vez.

Para resolver a equação com soluções em que nenhuma das variáveis é nula temos:

$\binom{n - 1}{m - 1} \: maneiras$

Com n=9, resultado da equação, e m=5, número de variáveis. Portanto, 70 maneiras.

Mas estamos contando também as possibilidades em que A, B, C, D ou E valem 4 ou 5. Analisando caso a caso:

1ª Situação(Uma das variáveis vale 5):

Qualquer uma das variáveis poderá valer 5 e as demais obrigatoriamente valerão 1, ou seja, 5 possibilidades

2ª Situação(Uma das variáveis vale 4):

Qualquer uma das variáveis poderá valer 4, uma outra necessariamente valerá 2 e as demais 1, o que nos dá: 5.4 possibilidades

Se temos um total de 70 casos e 5.4 + 5 = 25 são desfavoráveis, para saber o número de casos favoráveis basta subtrair 70 de 25:

70 - 25 = 45.