Question

A) Quantos anagramas podemos forma com as palavras Natureza e Desmatamento? b) Quantos anagramas podemos escrever com a palavra desmatamento tendo a "t" como primeira e última letra? c) Quantos anagramas podemos formar com a palavra natureza quando a letra E é a última letra do anagrama? d) De quantas formas distinta podemos formar senha com a palavra Desmatamento dento a letra M no início do anagrama, a letra D no meio do anagrama e a letra N no fim do anagrama? e) Se excluirmos a letra N e todos os anagramas tem que começar a letra Z, quantos anagramas podemos forma? f) Na palavra Desmatamento, quantos anagramas podemos forma se excluirmos a letra A da palavra?​

Answer 1

Considerando as palavras natureza e desmatamento, aplicando a fórmula da permutação com repetição temos que:

• a) Podemos formar 20.160 anagramas de natureza e 29.937.600 anagramas de desmatamento;
• b) Podemos escrever 453.600 anagramas da palavra desmatamento que comecem e terminem com a letra T;
• c) Pode-se formar 2.520 anagramas da palavra natureza com a letra E sendo a última do anagrama;
• d) São possíveis 10.080 anagramas de desmatamento, onde M aparece no início, D aparece no meio e N aparece no fim do anagrama;
• e) Podemos formar 360 anagramas de natureza excluindo a letra N e que comecem com a letra Z;
• f) Podemos formar 453.600 anagramas de desmatamento quando excluímos a letra A.

Permutação com repetição

Observe que ambas as palavras apresentam letras repetidas. Devido a isto, iremos resolver esta questão através da permutação com repetição. Temos a situação abaixo para cada uma das palavras:

• Natureza: 8 letras, sendo 2 letras A;
• Desmatamento: 12 letras, sendo 2 letras E, 2 letras M, 2 letras A e 2 letras T.

A fórmula da permutação com repetição é a seguinte:

P = n!/(a! × b! × c!...), onde a, b, c referem-se aos elementos repetidos e quantas vezes aparecem.

Aplicando a fórmula para a palavra natureza, temos o seguinte:

P = 8!/2!

P = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!/2! (eliminamos os 2!)

P = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3

P = 20.160

Assim, descobrimos que podemos formar 20.160 anagramas da palavra natureza. Agora faremos com a palavra desmatamento:

P = 12!/(2! × 2! × 2! × 2!)

P = (12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/(2! × 2! × 2! × 2!)

P = (12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3)/(2! × 2! × 2!)

P = 239.500.800/8

P = 29.937.600

Assim, descobrimos que podemos formar 29.937.600 anagramas da palavra desmatamento.

Agora, queremos calcular quantos anagramas de desmatamento começam e terminam com a letra T. Repare que como estas letras já estarão ocupando posições definidas, elas não serão consideradas no cálculo. Deste modo, nos restam 10 letras, das quais 3 aparecem duas vezes. Logo:

P = 10!/(2! × 2! × 2!)

P = (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3)/4

P = 453.600

Assim, sabemos que são 453.600 anagramas de desmatamento que começam e terminam com a letra T. A próxima etapa é descobrirmos quantos anagramas de natureza possuem a letra E como última letra. Novamente, desconsideramos a letra E, ficando com um total de 7 letras, das quais uma aparece duas vezes. Logo:

P = 7!/2!

P = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/2!

P = 7 × 6 × 5 × 4 × 3

P = 2.520

Deste modo, descobrimos que são 2.520 anagramas de natureza que terminam com a letra E. Agora queremos calcular quantos anagramas de desmatamento começam com a letra M e terminam com a letra N, tendo a letra D no meio do anagrama. Assim, nos restam 8 letras das quais 3 aparecem duas vezes. Logo:

P = 8!/(2! × 2! × 2!)

P = (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3)/4

P = 20160/4

P = 5.040

Como a posição do meio, na qual a letra D pode aparecer é composta por duas letras, já que a palavra apresenta um número par de letras, iremos multiplicar o resultado por 2. Logo:

P = 5.040 × 2

P = 10.080

Assim, 10.080 é o total de anagramas de desmatamento que começam com M, terminam com N e possuem D no meio da palavra. Agora, vamos calcular quantos anagramas de natureza começam com Z e excluem a letra N. Assim, nos restam 6 letras, das quais uma se repete duas vezes. Logo:

P = 6!/2!

P = (6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/2!

P = 6 × 5 × 4 × 3

P = 360

Descobrimos, assim, que 360 é o número de anagramas de natureza que começam com Z e excluem a letra N. Por fim, queremos calcular quantos anagramas podemos formar com desmatamento excluindo a letra A. Como a letra A aparece duas vezes, nos restarão 10 letras, das quais 3 aparecem duas vezes. Logo:

P = 10!/(2! × 2! × 2!)

P = (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3)/4

P = 453.600

Assim, concluímos que são possíveis 453.600 anagramas de desmatamento excluindo-se a letra A.

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