Question

a) Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MATEMATICAMENTE, começando com T e terminando em vogal ou M?

b) Quantos anagramas podem ser formados com a palavra OTORRINOLARINGOLOGISTA, sendo a segunda letra O, a vigésima primeira R e a penúltima N?

Answer 1

a)

Matematicamente tem 15 letras, onde 3 são 'm', 3 são 'a', 3 são 't' e 3 são 'e'

Para que os anagramas comecem com T, vamos tirar um T das permutações e colocá-lo na primeira letra, logo, pra primeira letra, há uma possibilidade

E para as terminações, teremos 2 possibilidades

Começando por letra T e terminando por M:

Pra primeira letra existirá 1 possibilidade, pra ultima também, e pro restante existirá uma permutação de (15 - 2) = 13 elementos com 2 de um tipo (2 M, um saiu), 3 de outro (3 A), 2 de outro (2 T, um saiu) e 3 de outro (3 E)

$x = 1*P_{13}^{2,3,2,3}*1$
$x=13!/(2!3!2!3!)$
$x=13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3!/(2!3!2!3!)$
$x=13*11*10*9*8*7*3*5*4$
$x=43243200$

Começando por T e terminando por A:

Pra primeira letra, 1 possibilidade
Pra última letra, 1 possibilidade
Pras restantes, permutação de 13 elementos com 3 de um tipo (3 M), 2 de outro (2 A, um saiu), 2 de outro (2 T) e 3 de outro (3 E)

$y=1*P_{13}^{3,2,2,3}*1$
$y=x=43243200$

Começando por T e terminando por E:

A mesma coisa ocorre: $z=x=y=43243200$

Começando por T e terminando por I:

Pra primeira, 1 possibilidade
Pra última, 1 possibilidade
Pras restantes, permutação de 13 elementos com 3 de um tipo (3 M), 3 de outro (3 A), 2 de outro (2 T) e 3 de outro:

$w=1*P_{13}^{3,3,2,3}*1$
$w=13!/(3!3!2!3!)$
$w=13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3!/(3!3!2!3!)$
$w=13*11*10*9*8*7*5*4$
$w=14414400$

Como os anagramas serão do tipo x OU do tipo y OU do tipo z OU do tipo w, sOUmamos as possibilidades:

$T=3*43243200+14414400$
$T=144144000$

Se tiver o gabarito, veja se esse é o resultado (Conta muito extensa, posso ter errado)
__________________________

b) A vigésima primeira letra é a penúltima letra, veja se o texto está correto

Answer 2

Resposta:

A)

MATEMATICAMENTE  são 15 letras

3 M,3 T, 3 A, 3 E  

vogal {A,I,E}

3 * 13! * 7/ (3!*3!*3!*3!)

= 100.900.800‬ anagramas

B)

OTORRINOLARINGOLOGISTA

22 letras

5 O , 2T , 3R , 3I , 2N ,2L,2A,2G  

20*5*18!*5*1/(5!2!3!3!2!2!2!2!)

=23.156.733.600.000‬ anagramas