Question

A quantidade de soluções inteiras da inequação é:
$\begin{array}{c}\sf\dfrac{1}{x^2-4}+\dfrac{2}{x+2}\geq 1\end{array}$

a)0
b)1
c)2
d)3
e)4​

Answer 1

Resposta:

letra C.

Explicação passo a passo:

$\frac{1}{x^2-4} +\frac{2}{x+2} \geq 1\\\\\frac{-x^2+2x+1}{(x+2)(x-2)} \geq 0\\\\\frac{-(x-1\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2)})(-1) }{(x+2)(x-2)} \leq 0 \ . \ (-1)\\\\\frac{(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2} }{(x+2)(x-2)} \leq 0\\\\-2<x\leq -\sqrt{2} +1\\\\2<x\leq 1+\sqrt{2}$

Answer 2

A quantidade de soluções inteiras desta inequação é: b) 1.

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$\tt\dfrac{1}{x^2-4}+\dfrac{2}{x+2}\geq1~\Leftrightarrow~\dfrac{1}{(x+2)(x-2)}+\dfrac{2}{x+2}-1\geq0$

Some a expressão do primeiro membro com o fim de obter uma inequação quociente:

$\tt\dfrac{1}{(x+2)(x-2)}+\dfrac{(x-2)2}{(x+2)(x-2)}-1\geq0$

$\tt\dfrac{1}{(x+2)(x-2)}+\dfrac{2x-4}{(x+2)(x-2)}-\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}\geq0$

$\tt\dfrac{1+2x-4-(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}\geq0$

$\tt\dfrac{2x-3-(x^2-4)}{(x+2)(x-2)}\geq0$

$\tt\dfrac{2x-3-x^2+4}{(x+2)(x-2)}\geq0$

$\tt\dfrac{\overbrace{\tt2x-x^2+1}^{\tt f(x)}}{\underbrace{\tt(x+2)(x-2)}_{\tt g(x)}}\geq0$

⠀

Agora estudaremos os sinais das funções f e g. Primeiramente, calcule os seus zeros [valores de x no momento f(x) = 0 e g(x) = 0], pois assim determinaremos os pontos nos quais suas parábolas fazem intersecção com o eixo das abscissas (eixo x):

$\left[\begin{array}{ll}\tt 2x-x^2+1=0~\sf(i)\\\\\tt(x+2)(x-2)=0~\sf(ii)\end{array}\right.$

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Eq.(i):

$\tt 2x-x^2+1=0$

$\tt x^2-2x-1=0$ ⇒ pelo método de completar quadrados:

$\tt x^2-2x+1-2=0$

$\tt (x-1)^2=2$

$\tt \big|x-1\big|=\sqrt{2}$

$\tt x-1=\pm~\sqrt{2}$

$\tt x=1\pm\sqrt{2}~\implies~x_f'=1+\sqrt{2}~\vee~x_f''=1-\sqrt{2}$

⠀

Eq.(ii):

$\tt (x+2)(x-2)=0$

$\tt x+2=0~\vee~x-2=0$

$\tt x_g'=-\,2~\vee~x_g''=2$

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Observe que o coeficiente líder ''a'' de f é negativo (a = - 1 < 0), enquanto em g ele é positivo (a = 1 > 0). Logo, a concavidade da parábola de f é para baixo e a de g é para cima (confira em anexo). Dessa forma, analisando os seus sinais, extrai-se:

• a função f é negativa para valores menores que $\sf x_{f}''$ e maiores que $\sf x_{f}'$, devido a parábola estar acima do eixo x para valores entre $\sf x_{f}''$ e $\sf x_{f}'$, e é positiva para valores entre esses zeros, devido a parábola estar abaixo do eixo x para valores menores que $\sf x_{f}''$ ou maiores que $\sf x_{f}'$;
• a função g é positiva para valores menores que $\sf x_{g}'$ e maiores que $\sf x_{g}''$, devido a parábola estar acima do eixo x para valores entre $\sf x_{g}'$ e $\sf x_{g}''$, e é negativa para valores entre esses zeros, devido a parábola estar abaixo do eixo x para valores menores que $\sf x_{g}'$ e maiores que $\sf x_{g}''$.

Ou seja:

$\left[\begin{array}{ll}\tt1-\sqrt{2} < x < 1+\sqrt{2}~\implies~f(x) > 0\\\\\tt x < 1 - \sqrt{2}~\vee~x > 1 + \sqrt{2}~\implies~ f(x) < 0\\\\\tt x < -2~\vee~ x > 2~\implies~g(x) > 0\\\\\tt - 2 < x < 2~\implies~g(x) < 0\end{array}\right.$

⠀

Plotando estes estudos em retas reais percebemos isso com mais facilidade:

⠀

$\large\text{ \sf f~~\,\overset{\red{~~-~~-~~-~~-~~}}{\textsf{------------------}}\!\!\!\!\:\!\!\!\underset{1-\sqrt{2}}{\bullet}\:\!\!\!\!\!\!\!\overset{\red{~~+~~+~~+~~+~~}}{\textsf{--------------------}}\!\!\!\!\:\!\!\!\underset{1+\sqrt{2}}{\bullet}\!\!\!\!\!\!\overset{\!\!\red{~~-~~-~~}}{\textsf{-----------}}\!\!\!\blacktriangleright }$

$\large\text{ \sf g~~\overset{\red{+}}{\textsf{------}}\!\!\!\underset{-2}{\circ}\:\!\!\!\!\overset{\red{~~-~~-~~-~~-~~-~~-~~}}{\textsf{--------------------------}}\!\,\:\!\!\!\underset{2}{\circ}\!\!\overset{\red{~~+~~+~~+~~+~~}}{\textsf{-----------------}}\!\!\!\blacktriangleright }$

$\large\text{ \sf \dfrac{f}{g}~~\!\overset{\red{-}}{\textsf{------}}\!\!\!\underset{-2}{\circ}\:\:\!\!\!\!\!\!\overset{\red{+~~+}}{\textsf{------------}}\!\!\!\!\:\!\!\!\!\underset{1-\sqrt{2}}{\bullet}\!\!\!\!\!\!\overset{\red{~~-~~-~~-~~}}{\textsf{--------------}}\:\,\!\!\!\!\underset{2}{\circ}\!\!\overset{\red{+}}{\textsf{------}}\!\!\!\!\!\!\!\underset{1+\sqrt{2}}{\bullet}\!\!\!\!\!\!\overset{\red{-~~-}}{\textsf{-----------}}\!\!\!\blacktriangleright }$

⠀

Obs.¹: pelo fato de f/g ser maior ou igual a 0, devemos incluir os zeros de f nos intervalos (bolinha fechada), mas não devemos incluir os zeros de g (bolinha aberta) por situar-se no denominador, assim evitando indefinições matemáticas.

Obs.²: os sinais da reta do quociente são concebidas na regra de sinais entre as outras duas retas.

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Como ≥ 0 indica ao 0 e aos valores positivos, teremos como solução da inequação todos os valores positivos que aparecem na reta do quociente: ]– 2, 1 – √2] $\cup$ ]2, 1 + √2]. Todavia, a resposta final NÃO é ''2 soluções'', a questão pede a quantidade de soluções INTEIRAS; números inteiros são tanto os naturais quanto os negativos inteiros. Sendo assim, observe que no intervalo ]– 2, 1 – √2] apenas – 1 é inteiro (– 2 não está incluso), já o intervalo ]2, 1 + √2] não possui números inteiros (2 não está incluso). À vista disso, a inequação possui apenas um solução inteira (alternativa b).

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.