Question

A) Qual período da função :f(x)=3.sen(x/2)-4?

B) Construa o gráfico da função: f(x)=4.cos(x)+2?

Answer 1

Podemos escrever uma senoide, função periódica descrita por funções seno/cosseno com auxílio do modelo mostrado abaixo.

$\boxed{\sf f(x)~=~a\,.\,sen(\omega.x+\theta)+b}~~ou~~ \boxed{\sf f(x)~=~a\,.\,cos(\omega.x+\theta)+b}}\\\\\\\sf \rightarrow~a:~Amplitude~da~senoide\\\\\rightarrow~b:~Offset.~Com~uma~variacao~deste~parametro~observamos,~graficamente,\\~~~~~~~~~~~um~"deslocamento"~horizontal~da~funcao~em~relacao~ao~eixo~"y"\\\\\rightarrow~\theta:~Fase.~Com~uma~variacao~deste~parametro~observamos,~graficamente,\\~~~~~~~~~~~um~"deslocamento"~horizontal~da~funcao~em~relacao~ao~eixo~"y"$

$\sf \rightarrow~\omega:~Frequencia~Angular,~se~relaciona~ao~periodo~''T''~por:~~\boxed{\sf T~=~\dfrac{2\pi}{\omega}}$

a)

Como mostrado no modelo acima, a frequência angular ω é o coeficiente que multiplica "x" (variável na função), que, nesta senoide, vale ω=1/2

$\boxed{\sf\omega~=~\dfrac{1}{2}}$

Vamos agora calcular o período "T":

$\sf T~=~\dfrac{2\pi}{\omega}\\\\\\T~=~\dfrac{2\pi}{\dfrac{1}{2}}\\\\\\T~=~2\pi\cdot \dfrac{2}{1}\\\\\\\boxed{\sf T~=~4\pi}$

b)

Antes de começarmos a desenhar o gráfico, é preciso extrair os coeficientes da senoide. Utilizando a nomenclatura mostrada no modelo apresentado no topo da resolução, temos:

$\boxed{\begin{array}{ccc}\sf a&\sf =&\sf 4\\\sf b&\sf =&\sf 2\\\sf \omega&\sf =&1\\\sf \theta&\sf =&\sf 0\end{array}}$

Temos então uma função cosseno de amplitude 4, "deslocada" 2 unidades para cima (offset), sem "deslocamento" horizontal (fase igual a 0) e período de 2π.

No entanto, sem prática pode ser difícil esboçar diretamente a senoide, vamos aos poucos com auxílio das figuras anexadas à resolução.

• Começamos desenhando a função cos(x), em vermelho no anexo 1. Note que o cosseno "puro" tem amplitude de 1 unidade e período de 2π.
• Agora, "esticando" cos(x) verticalmente, vamos aumentar a amplitude da função para 4, ou seja, os pontos máximos e mínimos passam a vale, respectivamente, 4 e -4. Este passo aparece em azul no anexo 1.
• Por fim, basta aplicarmos o offset à senoide deslocando-a para cima 2 unidades. Perceba que este deslocamento altera os pontos de máximo e mínimo da função para 6 e -2. Podemos ver, no anexo 2, a função 4cos(x) em azul e, em verde, a função 4cos(x)+2 pedida no exercício.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$