Question

A produtividade média diaria de uma grande industria, nos ultimos anos variou conforme a função F(t)=t^3-15t^2+63t+500, onde t é o tempo dado em anos ( com t=0 correspondendo ao inicio do ano 2000, t=1 correpondendo ao inicio do ano 2001 e assim sucessivamente) e f(t) é o numero medio diario de unidades produzidas no instante t. considere que esta aproximação seja valida no intervalo 0<=t<=8.
a) quais são os pontos criticos dessa função?
b)determine os valores extremos absolutos dessa função no intervalo 0<=t<=8.
c) em que momento desse intervalo a produção  media diaria foi maxima?
d) qual foi a produção media diaria maxima atingida nesse periodo?
e) em que momento desse intervalo a produção media diaria foi minima?
f) qual doi a produção media diaria minima atingida nesse periodo?

Answer 1

Olá, Juniorjr.

a) quais são os pontos críticos dessa função?

$F(t)=t^3-15t^2+63t+500\Rightarrow \frac{dF}{dt}=3t^2-30t+63=0\Leftrightarrow\\\\ t=3\text{ ou }t=7\text{ (aplicando Bhaskara)}$

b) determine os valores extremos absolutos dessa função no intervalo 0<=t<=8.

$\frac{dF}{dt}=3t^2-30t+63=0\Rightarrow \frac{d^2F}{dt^2}=F''(t)=6t-30$

$F''(3)=6\cdot3-30=-12<0\Rightarrow t=3\text{ \'e um m\'aximo}$

$F''(7)=6\cdot7-30=12>0\Rightarrow t=7\text{ \'e um m\'inimo}$

c) em que momento desse intervalo a produção média diária foi máxima?

Em t=3, conforme demonstramos na letra "b".

d) qual foi a produção média diária máxima atingida nesse período?

$F(3)=3^3-15\cdot3^2+63\cdot3+500=27-135+189+500=581$

e) em que momento desse intervalo a produção média diária foi mínima?

Em t=7, conforme demonstramos na letra "b".

f) qual foi a produção média diária mínima atingida nesse período?

$F(7)=7^3-15\cdot7^2+63\cdot7+500=343-735+441+500=549$