A produção de batatas de um determinado país, atualmente, é de 500 toneladas por ano. Pretende-se aumentar essa produção a uma taxa de crescimento de 5% ao ano. Após quantos anos o país chegará a uma produção de 1500 toneladas ao ano? Informações que podem ser usadas para auxiliar na resolução do problema:
Soluções para a tarefa
Após 23 anos e meio, o país passará a ter uma produção de batas igual a 1500 toneladas ao ano.
É possível determinar qualquer termo de uma progressão geométrica a partir da fórmula do termo geral.
Termo Geral da Progressão Geométrica
A partir do primeiro termo e da razão de uma progressão geométrica, podemos determinar qualquer termo pela seguinte fórmula:
aₙ = a₁ . (qⁿ⁻¹)
Em que:
- aₙ é o enésimo termo (termo de ordem n) da progressão;
- a₁ é o primeiro termo da progressão;
- q é a razão da progressão.
Observe que a produção crescente a uma taxa constante a cada ano. Podemos interpretar essa situação como uma pg em que a razão é justamente a taxa dada.
Do enunciado, sabemos que:
- aₙ = 1500
- a₁ = 500
- q = 100% + 5% = 105% = 1,05
Substituindo os valores na fórmula:
aₙ = a₁ . (qⁿ⁻¹)
1500 = 500 . ((1,05)ⁿ⁻¹)
1500 / 500 = ((1,05)ⁿ⁻¹)
3 = ((1,05)ⁿ⁻¹)
3 = (1,05)ⁿ / 1,05
3 × 1,05 = (1,05)ⁿ
(1,05)ⁿ = 3,15
Utilizando o logaritmo de base 10 em ambos os lados da equação:
log ((1,05)ⁿ) = log(3,15)
n × log (1,05) = log(3,15)
n = log (3,15) / log (1,05)
n ≅ 23,5 anos.
Assim, após 23 anos e meio, a produção de batatas será igual a 1500 toneladas.
Para saber mais sobre Progressões, acesse: brainly.com.br/tarefa/43095120
Espero ter ajudado, até a próxima :)
#SPJ1
