Question

A primeira derivada da função $y=(x^{3} -42)^5$ é igual a:
A) $y'=5(x^3-42)^4$
B) $y'=15(3x^2-42)^4$
C) $y'=5(3x^2-42)^4$
D) $y'=15x^2(3x^2-42)^4$
E) $y'=15x^2(x^3-42)^2$

Answer 1

Temos a seguinte função:

$y=(x^{3} -42)^5$

A questão nos pede para derivarmos essa função, para isso você deve notar que temos uma função composta, já que há uma função dentro do parêntese e outra que está elevada a 5. Se você bem lembrar, para derivar uma função composta, é necessário a utilização da regra da cadeia: $\frac{dy}{dx} =\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$. Vamos dar nomes as funções:

• Para função que está dentro do parêntese, digamos que ela seja uma função "u" qualquer:

$u = {x}^{3} - 42$

• Já a função "y" é a função "u" elevada a 5:

$y = u {}^{5}$

Aplicando a regra da cadeia:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (u {}^{5} ). \frac{d}{dx} (x {}^{3} - 42) \\ \\ \frac{dy}{dx} = 5u {}^{5 - 1} .3x {}^{3 - 1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx} = 5u {}^{4} .3x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\frac{dy}{dx} =15u {}^{4} .x {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Repondo o a expressão que representa "u":

$\frac{dy}{dx} = 15( x {}^{3} - 42) {}^{4} .x {}^{2} \\ \\ \boxed{\frac{dy}{dx} = 15x {}^{2} ( {x}^{3} - 42) {}^{4} \: }$

Espero ter ajudado