Question

A pressão atmosférica em um ponto (x,y,z) em uma determinada região é dada por P(x,y,z) = xe^2yz. Em qual direção do ponto (3,0,2)a pressão aumenta mais rapidamente? Qual a taxa máxima de aumento de pressão?

Answer 1

Utilizand oderivada direciona le gradiente, temos que esta taxa de aumenta é maxima na direção (1,12,0) com valor de 12,04.

Explicação passo-a-passo:

O vetor onde uma função escalar qualquer tem maior aumento é dado pela sua derivada direcional maxima, mais conhecida como gradiente, que por sua vez pode ser calculada por:

$\vec{\nabla}P(x,y,z)=\frac{\partial P}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial P}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial P}{\partial z}\hat{k}$

Então tendo a função:

$P(x,y,z)=x.e^{2yz}$

Podemos encontrar suas derivadas parciais:

$\frac{\partial P}{\partial x}=e^{2yz}$

$\frac{\partial P}{\partial y}=2xz.e^{2yz}$

$\frac{\partial P}{\partial z}=2xy.e^{2yz}$

Então podemos achar o valor destas derivadas no ponto desejado (3,0,2):

$\frac{\partial P}{\partial x}=e^{2yz}=e^{2.0.2}=1$

$\frac{\partial P}{\partial y}=2xz.e^{2yz}=2.3.2.e^{2.0.2}=12$

$\frac{\partial P}{\partial z}=2xy.e^{2yz}=2.3.0.e^{2.0.3}=0$

Assim o vetor de maior aumento desta função é na direção (1,12,0), cujo valor em modulo é de:

$\sqrt{1^2+12^2+0^2}=\sqrt{1+144}=\sqrt{145}=12,04$

Assim esta taxa de aumenta é maxima na direção (1,12,0) com valor de 12,04.