Question

A posição relativa entre a reta t de equação 2x - y + 2 = 0 e a circunferência de equação (x + 3)² + (y - 6)² = 20 é:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Ana Paula, que é simples.
Pede-se a posição relativa entre a reta "t", de equação 2x - y + 2 = 0 e a circunferência de equação (x+3)² + (y-6)² = 20.

Antes veja que uma circunferência que tenha centro em C(xo; yo) e tenha raio = r, ela tem a seguinte equação reduzida:

(x-xo)² + (y-yo)² = r²      . (I)

Agora compare a equação acima com a equação da circunferência da sua questão (vamos apenas colocar a equação da circunferência embaixo da expressão (I) que acabamos de ver aí em cima, ou seja, vamos colocar uma embaixo da outra para melhor raciocinar):

(x-xo)² + (y-yo)² = r² <--- Esta é a expressão (I).
(x+3)² + (y-6)² = 20 <--- Esta é a equação da circunferência da sua questão.

Da comparação entre as duas, você já deverá ter concluído que a equação da circunferência da sua questão tem centro "C" e raio "r", respectivamente:

C(-3; 6)
e
r² = 20
r = √(20) --- note que "20" = 2².5 . Então:
r = √(2².5) ----- veja que o "2", por estar ao quadrado, sairá de dentro da raiz, ficando:
r = 2√(5) u.m.  <--- Esta é a medida do raio , (u.m. = unidades de medida).

Bem, agora vamos encontrar a distância entre o centro da circunferência da sua questão [C(-3; 6)]  e a reta "t" de equação: 2x-y+2 = 0, utilizando-se, para isso, a fórmula abaixo:

d = |Axo + Byo + C| /√(A²+B²)

Na fórmula acima temos que: "A" , "B" e "C" são os coeficientes da reta considerada (que, no caso, são: "2", "-1" e "2", respectivamente) e "xo" e "yo" são as coordenadas do ponto do qual estamos calculando a distância à reta (que, no caso, são: "-3" e "6", respectivamente).
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

d = |2*(-3) - 1*(6) + 2|/√(2² + (-1)²)
d = |-6 - 6 + 2|/√(4+1)
d = |-10|/√(5) ------ note que |-10| = 10. Assim:
d = 10/√(5) u.m. ----- para racionalizar, vamos multiplicar numerador e denominador por √(5), ficando:

d = 10*√(5)/√(5)*√(5)
d = 10√(5)/5 ------ dividindo numerador e denominador por "5", ficaremos apenas com:

d = 2√(5) u.m. <---- Esta é a distância do centro C(-3; 6) à reta "t".

Agora veja que "d" é exatamente igual ao raio "r" da circunferência, de onde se conclui que a reta "t" é:

tangente à circunferência <---- Esta é a resposta.

Apenas pra você ter uma ideia, veja as situações de posições relativas entre reta e circunferência:

i) A reta será externa à circunferência se a distância (d) entre o centro da circunferência e a reta considerada for maior que o raio, ou seja, se tivermos:
d > r

ii) A reta será tangente à circunferência se a distância (d) entre o centro da circunferência e a reta considerada for igual ao raio, ou seja, se tivermos:
d = r (que foi o caso da sua questão).

iii) A reta será secante à circunferência se a distância (d) entre o centro da circunferência e a reta considerada for menor que o raio, ou seja, se tivermos:
d < r.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.