A posição r de uma partícula que se move em um plano xy é dada por r=(2,0t³ - 5,0t)i+(6,0 - 7,0t4)j, com r em metros e t em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule: a)r, b)v e c)a para t=2s. d)Qual é o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e uma reta tangente á trajetória da partícula em t=2s?
Soluções para a tarefa
(a) Você deve saber qual a posição da partícula em t=2s. Para isso você põe 2 onde tem "t" e realiza as operações.
r (t=2s) = [2,0(2³)-5,0(2,0)]i + [6,0 - 7,0(2,0^4)]
r (t=2s)= (6)i - (106)j
(b) A velocidade é a derivada da posição com relação ao tempo
V = dt/dt
V = [6t² - 5]i - (28t³)
Agora a velocidade em t=2s.
V = (19)i - (224)j
(c) A aceleração e igual a derivada da velocidade no tempo
a = dv/dt
a = (12t)i - (84t²)j
agora em t = 2s
a = (24)i - (336)j
(d) O angulo é calculado a partir das componentes da velocidade em i e j no tempo de t =2s
tan α = Vj/Vi
α = arc tan (224/19)
α = 85,15º
Item A)
O vetor unitário da posição em função do tempo da partícula para t = 2 s é igual a (6i - 106j) m.
Para solucionar esse item, basta substituir o tempo t = 2s na função da posição r da partícula dada por . Logo, temos:
Item B)
O vetor unitário da velocidade em função do tempo da partícula para t = 2 s é igual a (19i - 224j) m/s.
Para solucionar esse item, basta derivar a função da posição r da partícula em relação ao tempo. Após isso, basta substituir o tempo t = 2s na função da encontrada. Logo, temos:
Derivando a função da posição em relação ao tempo
Portando a equação da velocidade da partícula em função do tempo é igual a . Substituindo t = 2 s, temos:
Item C)
O vetor unitário da aceleração em função do tempo da partícula para t = 2 s é igual a (19i - 224j) m/s².
Para solucionar esse item, basta derivar a função da velocidade v da partícula em relação ao tempo. Após isso, basta substituir o tempo t = 2s na função da encontrada. Logo, temos:
Derivando a função da velocidade em relação ao tempo
Portando a equação da aceleração da partícula em função do tempo é igual a . Substituindo t = 2 s, temos:
Item D)
O ângulo entre o sentido positivo do eixo x e a reta tangente á trajetória da partícula é igual a 85,15°.
Para calcular o ângulo Θ devemos utilizar as componentes i e j da velocidade para t = 2 s calculada anteriormente. Logo, temos:
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