Question

A posição r de uma partícula que se move em um plano xy é dada por r=(2,0t³ - 5,0t)i+(6,0 - 7,0t4)j, com r em metros e t em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule: a)r, b)v e c)a para t=2s. d)Qual é o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e uma reta tangente á trajetória da partícula em t=2s?

Answer 1

Olá

(a) Você deve saber qual a posição da partícula em t=2s. Para isso você põe 2 onde tem "t" e realiza as operações. 

r (t=2s) = [2,0(2³)-5,0(2,0)]i + [6,0 - 7,0(2,0^4)] 

r (t=2s)= (6)i - (106)j 

(b) A velocidade é a derivada da posição com relação ao tempo 

V = dt/dt 
V = [6t² - 5]i - (28t³)  

Agora a velocidade em t=2s. 

V = (19)i - (224)j 

(c) A aceleração e igual a derivada da velocidade no tempo 

a = dv/dt 

a =  (12t)i - (84t²)j 

agora em t = 2s 

a = (24)i - (336)j 

(d) O angulo é calculado a partir das componentes da velocidade em i e j no tempo de t =2s

tan α = Vj/Vi 

α = arc tan (224/19) 

α = 85,15º 

Answer 2

Item A)

O vetor unitário da posição em função do tempo da partícula para t = 2 s é igual a (6i - 106j) m.

Para solucionar esse item, basta substituir o tempo t = 2s na função da posição r da partícula dada por $r(t)=(2,0t^{3} - 5,0t)i+(6,0 - 7,0t^{4})j$. Logo, temos:

$r(2)=(2,0\cdot(2)^{3} - 5,0\cdot2)i+(6,0 - 7,0\cdot(2)^{4})j~m\\\\\\r(2)=6i-106j~m$

Item B)

O vetor unitário da velocidade em função do tempo da partícula para t = 2 s é igual a (19i - 224j) m/s.

Para solucionar esse item, basta derivar a função da posição r da partícula em relação ao tempo. Após isso, basta substituir o tempo t = 2s na função da encontrada. Logo, temos:

Derivando a função da posição em relação ao tempo

$v(t)=\dfrac{dr(t)}{dt}=(\dfrac{d(2,0t^{3})}{dt} - \dfrac{d(5,0t)}{dt})i+(\dfrac{d(6,0)}{dt} - \dfrac{d(7,0t^{4})}{dt})j\dfrac{m}{s}\\\\\\v(t)=(6t^{2}-5)i+(-28t^{3})j\dfrac{m}{s}$

Portando a equação da velocidade da partícula em função do tempo é igual a $v(t)=(6t^{2}-5)i+(-28t^{3})j$. Substituindo t = 2 s, temos:

$v(2)=(6\cdot(2)^{2}-5)i+(-28\cdot(2)^{3})j\dfrac{m}{s}\\\\\\v(2)=19i-224j\dfrac{m}{s}$

Item C)

O vetor unitário da aceleração em função do tempo da partícula para t = 2 s é igual a (19i - 224j) m/s².

Para solucionar esse item, basta derivar a função da velocidade v da partícula em relação ao tempo. Após isso, basta substituir o tempo t = 2s na função da encontrada. Logo, temos:

Derivando a função da velocidade em relação ao tempo

$a(t)=\dfrac{dv(t)}{dt}=(\dfrac{d(6t^{2})}{dt} - \dfrac{d(5,0)}{dt})i+( - \dfrac{d(28t^{3})}{dt})j\\\\\\a(t)=(12t)i+(-84t^{2})j\dfrac{m}{s^{2}}$

Portando a equação da aceleração da partícula em função do tempo é igual a $a(t)=(12t)i+(-84t^{2})j$. Substituindo t = 2 s, temos:

$a(2)=(12\cdot(2))i+(-84\cdot(2)^{2})j\dfrac{m}{s^{2}}\\\\\\a(2)=(24i-336j)\dfrac{m}{s^{2}}$

Item D)

O ângulo entre o sentido positivo do eixo x e a reta tangente á trajetória da partícula é igual a 85,15°.

Para calcular o ângulo Θ devemos utilizar as componentes i e j da velocidade para t = 2 s calculada anteriormente. Logo, temos:

$\Theta=arctan\left(\dfrac {vy}{vx}\right) \Rightarrow\Theta=arctan\left(\dfrac {224}{19} \right)\\\\\\\Theta=85,15~graus$

Continue estudando em:

https://brainly.com.br/tarefa/41661872

https://brainly.com.br/tarefa/27574731

https://brainly.com.br/tarefa/32951995