Question

A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias no instante t. após 3 horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 9 horas, 2500 bactérias. Podemos afirmar que o número inicial de bactérias é:

Answer 1

O número inicial de bactérias é de 200 bactérias.

Chamamos de:

N(t) o número de bactérias presentes em função do tempo .

t = tempo em horas

N(o) = número de bactéria inicial  

Então, montamos a seguinte equação do crescimento da população das bactérias:

N(t) = N(0) . (2)^t/3

Dados:  

N(t) = 400

N(0) = ?

t =  3 h

Substituindo os valores na função :

N(t) = N(0) . (2)^t/3

400 = N(0) . (2)^3/3

400 = N(0) . (2)^1

400 = N(0) . 2

N(0) = 400 / 2

N(0) = 200 bactérias

O número inicial de bactérias é de 200 bactérias.

Answer 2

Resposta:

O número inicial é de 160 bactérias

Explicação

P(t) é a função da população de bactérias em função do tempo.

$\frac{dP}{dt} = kP$ é  o modelo padrão para este tipo de exercício sobre a população de bactérias com crescimento proporcional a sua população atual.

Deforma geral:  $P(t) = P_{0}.e^{kt}$

Temos:

$P(3)=400\\P(9)=2500$

Basta substituir qualquer uma das duas, e isolar em relação a K para obter o valor da constante:

$400 = P_{0}.e^{k3}\\k=\frac{ln(\frac{400}{P_0} )}{3}$

Agora substitua com a outra condição e substituindo o valor de k achado:

$\\2500 = P_{0}.e^{k9}\\\\2500=P_0.ln(\frac{400}{P_0} )^3\\\\P_0=160$

Voltando no PVI:

$P(t)=160.ln(\frac{400}{160} )^{t}\\\\P(0)=160.ln(\frac{400}{160} )^{0} \\\\P(0)=160.1=160$

160 bactérias em t=0