Question

A partir dos pontos médios dos lados de um quadrado, traça-se outro quadrado. Repetimos o processo para o quadrado obtido e assim sucessivamente. (Veja a figura)

Sabendo-se que o lado do quadrado maior mede 2 cm, calcule a soma das áreas dos infinitos quadrados da figura assim obtida.

Answer 1

A soma das áreas dos infinitos quadrados da figura assim obtida é 8.

Sabemos que a área de um quadrado é igual ao produto de suas dimensões.

Como o quadrado maior possui lado igual a 2 cm, então a sua área é:

A₁ = 2.2

A₁ = 4 cm².

O segundo quadrado obtido pelos pontos médios o primeiro, possui lado igual a √2 cm. Logo, a sua área é:

A₂ = √2.√2

A₂ = 2 cm².

O terceiro quadrado terá lados iguais a 1 cm. Logo, a sua área é igual a:

A₃ = 1.1

A₃ = 1 cm².

O quarto quadrado terá lados iguais a √2/2. Logo, a sua área é igual a:

A₄ = √2/2.√2/2

A₄ = 1/2 cm².

E assim por diante.

Observe que a sequência (4,2,1,1/2,...) é uma progressão geométrica de razão 1/2.

Para calcularmos a soma dos termos da progressão geométrica infinita, utilizaremos a fórmula: $S=\frac{a_1}{1-q}$.

Portanto, a soma das áreas é igual a:

S = 4/(1 - 1/2)

S = 4/(1/2)

S = 4.2

S = 8.