Question

A partir do gráfico seguinte resolva as inequações

Answer 1

Resposta:

a)x ∈ [-1,2]

Explicação passo-a-passo:

a)(-x+2)(x+1)≥0

Existem duas formas de que o produto seja ≥0, as duas são:

1.$\left \{ {{-x+2\geq0 } \atop {x+1\geq0 }} \right.$   e   2.$\left \{ {{-x+2\leq 0} \atop {x+1\leq0 }} \right.$

Calculando a primeira:

$-x+2\geq 0\\-x\geq -2\\x\leq 2$

$x+1\geq 0\\x\geq -1$

Interseção:

$-1\leq x\leq 2$

Calculando a segunda:

$-x+2\leq 0\\-x\leq -2\\x\geq 2$

$x+1\leq 0\\x\leq -1$

Interseção:

x ∈ ∅

Logo a união das duas será:

x ∈ [-1,2]

o b segue a mesma lógica.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Mateus, que a resolução parece mais ou menos simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) A partir do gráfico anexado por foto, tem-se os gráficos das seguintes funções do 1º grau:

f(x) = - x + 2; e  g(x) = x + 1 .

ii) Isso posto, pede-se para resolver as seguintes inequações:

a) f(x) * g(x) ≥ 0 ----- substituindo-se "f(x)" e "g(x)" por suas representações, temos:

(-x + 2) * (x + 1) ≥ 0  ---- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado terá que ser maior ou igual a zero. Então vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações em função de suas raízes. Assim, teremos:

f(x) = -x + 2 ---> raízes: -x + 2 = 0 ---> -x = -2 ---> x = 2

g(x) = x + 1 ---> raízes: x + 1 = 0 ---> x = - 1.

Agora vamos estudar a variação de sinais das duas equações em função de suas raízes:

a) f(x) = -x + 2 .... + + + + + + + + + + (2) - - - - - - - - - - - - - - - - - -  

b) g(x) = x + 1 .... - - - - - -  (-1) + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

c) a*b ................. - - - - - -  (-1) + + +  (2) - - - - - - - - - - - - - - - - -

Como queremos que o produto de f(x) por g(x) seja maior ou igual a "0", então vamos considerar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos dá o produto de f(x) por g(x). Assim, o domínio da inequação do item "a" será:

-1 ≤ x ≤ 2 ------ esta é a resposta para a inequação do item "a".

b) f(x) / g(x) ≤ 0 ------ substituindo-se "f(x)" e "g(x)" por suas representações, teremos isto:

(-x + 2) / (x + 1) ≤ 0 ------ para x ≠ -1  <---- note que esta ressalva (x ≠ -1) é importante para que possamos trabalhar com o denominador sem qualquer preocupação de estarmos trabalhando com denominador igual a "0", pois note que se "x" pudesse ser igual a "-1" iríamos ter uma divisão por zero e isso simplesmente não existe. Concorda?

Vamos fazer o mesmo que fizemos com a inequação do item "a", ou seja, vamos estudar a variação de sinais de cada equação dada em função de suas raízes. Como já sabemos que a raiz de f(x) = 2 e que a raiz de g(x) é igual a "-1", então teremos que:

a) f(x) = - x + 2 ..... + + + + + + + + + + + (2) - - - - - - - - - - - - - - - - -

b) g(x) = x + 1 ..... - - - - - - -  (-1) + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

c) a/b................. - - - - - - - -  (-1) + + + + (2) - - - - - - - - - - - - - - - - -

Como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja menor ou igual a zero, então vai prevalecer onde tiver o sinal de MENOS no item "c" acima, que nos fornece a divisão de f(x) por g(x). Assim, teremos que o domínio será:

x < -1 ou x ≥ 2 ------ Esta é a resposta para o item "b".

Aí você poderá perguntar: e por que o "x" é apenas menor que (-1) e, no entanto é maior ou igual a "2"?

Resposta: porque o "-1" é raiz do denominador e se "x" pudesse ser igual a "-1" então iríamos ter uma divisão por zero e isso não existe. Por isso é que colocamos aquela ressalva no denominador g(x) = x + 1 ------ para x ≠ -1 (lembra?)

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = (-∞; -1) ∪ [2; +∞).

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.