A partir do estudo do sinal identifique o intervalo no qual se localiza a raiz positiva real da função f(x) = ln(x) + x² - 13
A)
I = [5, 6]
B)
I = [1, 2]
C)
I = [4, 5]
D)
I = [2, 3]
E)
I = [3, 4]
Soluções para a tarefa
Sabemos que a função f(x) = ln(x) + x² - 13 é crescente, pois x² e sempre um número positivo e ln(x) é também crescente. Se temos dois números a e b tais que a < b e a > 0, temos que:
log a < log b pois log x é uma função crescente e a² < b² pois ambos são positivos.
O domínio da nossa função é D = {x > 0} e ela possui apenas uma raiz, ou seja, toca eixo x apenas uma vez.
Vamos então atribuir valores a x e tentar estimar onde está a raiz. Observe que:
f(1) = ln 1 + 1 - 13 = ln 1 - 12 → o resultado é um número menor que zero.
f(4) = ln 4 + 16 - 13 = ln 4 + 3 → o resultado é um número maior que zero.
Ou seja, em algum momento o gráfico cruzou o eixo x, logo a raiz está entre 1 e 4. Podemos aproximar ainda mais atribuindo outros valores a x.
f(2) = ln 2 + 4 - 13 = ln 2 - 11 → o resultado é um número menor que zero.
f(3) = ln 3 + 9 - 13 = ln 3 - 4 → o resultado é um número menor que zero.
Sabemos então que
f(3) < 0 e f(4) > 0
A raiz esta entre 3 e 4.
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