Question

A partir de um mesmo instante , um cientista começou a estudar o crescimento de duas populações: uma de cupins e outra de formigas. As populações de cupins e de formigas cresceram de acordo com a funções f(t) = 9^t + 13 e g(t) = 2 × 3^(t + 1) + 40, respectivamente , sendo f(t) e g(t) os milhares de indivíduos em t meses após o inicio do estudo.

Depois de quanto tempo, a partir do início do estudo as duas populações tiveram o mesmo numero de individuos ?

Observação: mostrar o desenvolvimento apenas utilizando meios exponenciais (sem usar log) para que eu veja e aprenda a fazer tbm.

Answer 1

Como as populações tem que ter o mesmo tamanho, é preciso igualar as funções:
f(t) = g(t)
$9^{t} + 13 = 2* 3^{t+1} + 40$
Usando propriedade de multiplicação de potencias de mesma base, sabemos que 3^(t+1) = 3^t * 3
9 = 3^2, então 9^t = 3^2t
Então,
$3^{2t} = 2* 3^{t} *3 + 27$
Substitua 3^t por y:
$y^{2} = 2*3*y + 27$
$y^{2} - 6y - 27 = 0$
Fazendo Bhaskara, temos que y = 9 e y = -3. Como não pode ter tempo negativo, y=-3 será desconsiderado. Logo, y = 9.

Agora, para achar t, volte à 3^t = y:
3^t = 9
3^t = 3^2
Logo, t = 2

Espero ter ajudado!