Question

A parábola da equação y= -2x^2 + bx + c passa pelo ponto ( 1, 0 ) e seu vértice é o ponto de coordenadas (3, v). Determine v.

Answer 1

Primeiro, note que (1,0) indica que x=1 seria um zero dessa função.

Como parábolas são simétricas em relação ao vertice, o vértice está em x=3.

De 1 a 3, no eixo x, andamos 2 unidades. Usando simetria, mais duas unidades e temos outro zero da função.

Ou seja, se (1,0) é um ponto da parábola e (3,v) é um vértice, (5,0) também é um ponto da parábola.

Substituimos o ponto (1,0):

$y = -2x^{2} +bx+c \\ 0 = -2.1^{2} +b.1 + c\\ 0 = -2 +b + c\\2 = b+c$

Agora substituimos o ponto (5,0):

$y = -2x^{2} +bx+c \\0 = -2.5^{2} + 5.b + c\\ 0 = -50 +5b + c\\ 50=5b+c$

Montamos um sistema e descobrimos o valor de b e de c:

$\left \{ {{5b+c=50} \atop {b+c=2}} \right.$

Fazendo o de cima menos o de baixo, ficamos com:

5b - b + c - c = 50 - 2

4b = 48, então b = 48/4 = 12: b = 12

Substituimos na equação b+c=2 --> 12 + c = 2 --> c = 2-12 --> c=-10.

Então a forma geral dessa parabola é:

$y = -2x^{2} +bx+c , substituindo, y = -2x^{2} +12x-10$

Agora por fim, substituimos no vertice (3,v):

$v = -2.3^{2} +12.3-10 = -2.9 + 36 - 10 = -18 + 36 -10 = 36 - 28 = 8$

Então, v=8

Answer 2

Boa tarde

Se a parábola passa por (1,0) podemos fazer ;

0=-2*1²+b*1+c ⇒ 0=-2 +b+c ⇒ b + c = 2

Trabalhando a abscissa do vértice temos :

$x_{V}=-\dfrac{b}{2a} \Rightarrow 3=-\dfrac{b}{2*(-2)} \Rightarrow b=12$

e b+c=12 ⇒12+c=2 ⇒ c= 2-12 ⇒ c = -10

A função é f(x) = y = -2x²+12x-10

Calculando v

v= f(3) = -2*3² +12*3 - 10 = -18+36-10 = 8

Resposta : v = 8

Ver anexo