Question

A medida de uma aresta de um prisma regular hexagonal é o triplo do apótema de uma das bases. Calcule a área total desse prisma sabendo que seu volume é igual a 54cm3. Resposta: At=48\/3 cm2

Answer 1

A área do hexágono se dá por:

$A_h= \dfrac{apo\´tema.peri\´metro}{2}$

Sabemos que o perímetro será a soma de seus lados temos:

$P = 6.l$

Então temos:

$A_h= \dfrac{6l.a}{2} \\ \\ A_h=3l.a$

O volume será a área da base multiplicado pela altura, ou no nosso caso a aresta, que equivale ao triplo da apótema:

$V_h=3l.a . aresta \\ V_h=3l.a.3a \\ V_h=9l.a^2\\ 54=9l.a^2=6=l.a^2$

Agora, sabendo que a fórmula do apótema é:

$a = \dfrac{l \sqrt{3} }{2}$

Temos:

$6=l.a^2 \\ \\ 6=l.\left(\dfrac{l \sqrt{3} }{2}\right)^2 \\ \\ 6=l.\dfrac{l^2.3 }{4} \\ \\ 6.4=3l^3 \\ \\ l^3=\dfrac{24}{3}\\ \\ l= \sqrt[3]{8} \\ \\ l=2$

Calcularemos o apótema e a aresta:

$a = \dfrac{l \sqrt{3} }{2} \\ \\ a = \dfrac{2 \sqrt{3} }{2} \\ \\ a = \sqrt{3} \\ \\ \\ aresta = 3.apotema \\ \\ aresta = 3\sqrt{3}$

A área total, será a área somada de todas suas faces.
Nesse prisma, teremos seis área iguais laterais mais as áreas das duas bases em formato hexagonal.

A área da lateral:

$A_l = l . aresta \\ A_l = 2 . 3 \sqrt{3} \\ A_l = 6 \sqrt{3}$

Área da base:

$A_h= \dfrac{3l^2 \sqrt{3} }{2} \\ \\ A_h= \dfrac{3.2^2 \sqrt{3} }{2} \\ \\ A_h= \dfrac{3.4 \sqrt{3} }{2} \\ \\ A_h= \dfrac{12 \sqrt{3} }{2} \\ \\ A_h=6 \sqrt{3}$

Calculando a área total:

$A_{total} = 6.A_l+2.A_h \\ A_{total} = 6.6 \sqrt{3} +2.6 \sqrt{3} \\ A_{total} = 36 \sqrt{3} +12 \sqrt{3} \\ A_{total} = 48\sqrt{3} \ cm^2$

=)