Question

A medida da soma dos ângulos internos de um polígono que possui 170 diagonais

Answer 1

Primeiro vamos descobrir o números de lados desse polígono , para isso usamos a fórmula :  D = n ( n - 3 ) / 2 
D = diagonais
n = número  de lados

170 = n ( n - 3) / 2
170 . 2 = n² - 3n

n² - 3n - 340 = 0  ( equação do 2° grau)

a = 1 b = -3 e c = -340

Δ = b² - 4.a.c
Δ = (-3)² - 4.1.( -340)
Δ = 9 + 1360  ~> 1369

x = - b + √Δ / 2a
x =  3 + √ 1369 / 2.1
x = 3 + 37 / 2
x = 20

Logo , esse polígono tem 20 lados .

 

Agora para calcular o ângulo interno :

Âi = (n-2).180º 

(20 - 2 ) . 180° ~> 3240°

Resposta : 3240°

Answer 2

O número "d" de diagonais de um polígono em relação ao número n de lados deste polígono é dado por:

$d=\frac{n(n-3)}{2}$

Neste caso d = 170
Substituindo na fórmula:

$170=\frac{n(n-3)}{2} \\ \\ n^2-3n=340 \\ \\ \boxed{n^2-3n-340=0}$

A solução positiva desta equação é n=20

Portanto o polígono é um icoságono (20 lados

Para determinar a soma dos ângulos internos de um icoságono, fazemos:

$S_{20}=180(20-2) \\ \\ S_{20}=180.18 \\ \\ S_{20}=3420^o$