Question

a medida da área da base de um cone de revolução é 1/3 da medida da área total. Calcule o ângulo do setor circular que é a planificação da superfície lateral.​

Answer 1

O ângulo do setor circular após a planificação da superfície lateral é calculado a seguir.

Explicação passo-a-passo:

Em um cone, temos que

$A_{base}=\pi\,.\,r^2\\A_{lateral}=\pi\,.\,r\,.\,g\\A_{total}=A_{base}+A_{lateral}\\A_{total}=\pi\,.\,r^2+\pi\,.\,r\,.\,g\\A_{total}=\pi\,.\,r\,.\,(r+g)$

e, do enunciado, temos que a área da base é 1/3 da área total. Logo,

$A_{total}=A_{base}+A_{lateral}\\\\A_{total}=\frac{A_{total}}{3}+A_{lateral}\\\\A_{lateral}=A_{total}-\frac{A_{total}}{3}\\\\A_{lateral}=\frac{2\,.\,A_{total}}{3}\\\\\pi\,.\,r\,.\,g=\frac{2\,.\,\pi\,.\,r(r+g)}{3}\\\\g=\frac{2\,.\,(r+g)}{3}\\\\3g=2r+2g\\\\3g-2g=2r\\\\g=2r$

A circunferência da base do cone e, consequentemente, o comprimento do arco após a planificação vale 2.π.r.

O comprimento da circunferência que inclui o arco vale 2.π.g.

Logo, usando regra de três:

$\frac{2\,.\,\pi\,.\,g}{360}=\frac{2\,.\,\pi\,.\,r}{x}\\\\\frac{g}{360}=\frac{r}{x}\\\\\text{Mas, g = 2r. Logo,}\\\\\frac{2\,.\,r}{360}=\frac{r}{x}\\\\\frac{2}{360}=\frac{1}{x}\\\\2\,.\,x=360\\\\x=\frac{360}{2}\\\\x=180^{\circ}$