A mediana AM de um triangulo ABC mede 6cm,sabendo AB=24cm, e que essa mediana forma dois ângulos que diferem de 60° . determine as medidas dos lados do triangulo.
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1
Ao traçar a mediana, formam-se os ângulos x e y sobre o lado BC.
A soma desses ângulos é igual a 180° e a diferença é igual a 60°. Logo:
{y + x = 180
{y - x = 60 +
2y = 240
y = 240/2
y = 120°
y + x = 180
x = 180 - y
x = 180 - 120
x = 60°
Agora, podemos calcular a medida do segmento BM.
Utilizaremos a Lei dos Cossenos.
b² = a² + m² - 2·a·m·cos 60°
24² = a² + 6² - 2·a·6·1/2
576 = a² + 36 - 6a
a² - 6a + 36 - 576 = 0
a² - 6a - 540
Δ = (-6)² - 4·1·(-540)
Δ = 36 + 2160
Δ = 2196
a' = - (-6) + √2196 ⇒ a' = 6 + 46,86 ⇒ a' = 52,86 ⇒ a' ≈ 26,43
2·1 2 2
a'' = - (-6) - √2196 ⇒ a' = 6 - 46,86 ⇒ a'' = - 40,86 ⇒ a'' ≈ - 20,43
2·1 2 2
Como a medida de a deve ser um número natural, ficamos com a raiz positiva. Logo:
a ≈ 26,43 cm
Calculamos, agora, a medida do segmento BC.
BC = 2a
BC = 2(26,43)
BC ≈ 52,86 cm
Calculamos, por fim, a medida do segmento AC.
Aplicando a Lei dos Cossenos, temos:
c² = m² + a² - 2·m·a·cos 120°
c² = 6² + (26,43)² - 2·6·26,43·(-1/2)
c² = 36 + 698,55 + 158,58
c² = 893,13
c = √893,13
c ≈ 29,88 cm
AC ≈ 29,88 cm
A figura abaixo ajuda a entender melhor a resolução.
A soma desses ângulos é igual a 180° e a diferença é igual a 60°. Logo:
{y + x = 180
{y - x = 60 +
2y = 240
y = 240/2
y = 120°
y + x = 180
x = 180 - y
x = 180 - 120
x = 60°
Agora, podemos calcular a medida do segmento BM.
Utilizaremos a Lei dos Cossenos.
b² = a² + m² - 2·a·m·cos 60°
24² = a² + 6² - 2·a·6·1/2
576 = a² + 36 - 6a
a² - 6a + 36 - 576 = 0
a² - 6a - 540
Δ = (-6)² - 4·1·(-540)
Δ = 36 + 2160
Δ = 2196
a' = - (-6) + √2196 ⇒ a' = 6 + 46,86 ⇒ a' = 52,86 ⇒ a' ≈ 26,43
2·1 2 2
a'' = - (-6) - √2196 ⇒ a' = 6 - 46,86 ⇒ a'' = - 40,86 ⇒ a'' ≈ - 20,43
2·1 2 2
Como a medida de a deve ser um número natural, ficamos com a raiz positiva. Logo:
a ≈ 26,43 cm
Calculamos, agora, a medida do segmento BC.
BC = 2a
BC = 2(26,43)
BC ≈ 52,86 cm
Calculamos, por fim, a medida do segmento AC.
Aplicando a Lei dos Cossenos, temos:
c² = m² + a² - 2·m·a·cos 120°
c² = 6² + (26,43)² - 2·6·26,43·(-1/2)
c² = 36 + 698,55 + 158,58
c² = 893,13
c = √893,13
c ≈ 29,88 cm
AC ≈ 29,88 cm
A figura abaixo ajuda a entender melhor a resolução.
Anexos:
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