Question

A média geométrica G entre dois números positivos m e n é dada por raiz de m.n. Sabendo que m=n+7 e que G= 12, os valores de m e n são iguais a:

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Se m = n + 7, então n = m - 7. Assim

$\sqrt{m.n}=12=>\sqrt{(n+7)(m-7)}=12=>(n+7)(m-7)=12^{2}=>(n+7)(m-7)=144=>m.n-7n+7m-49=144=>mn-7n+7m=144+49=>mn-7n+7m=193(II)$. Substituindo o valor de m ou de n em (II), no nosso caso m = n + 7, temos:

(n + 7)n - 7n + 7(n + 7) = 193

n² + 7n - 7n + 7n + 49 = 193

n² + 7n + 49 - 193 = 0

n² + 7n - 144 = 0

Δ = 7² - 4.1.(-144)

Δ = 49 + 576

Δ = 625

n = [-7 ± √625]/2.1

n' = (- 7 + 25)/2

n' = 18/2

n' = 9

n" = (- 7 - 25)/2

n" = -32/2

n" = -16

Como

i) $\sqrt{mn}=12 =>\sqrt{m.9}=12=>m.9=12^{2}=>m.9=144=>m=\frac{144}{9}=>m=16$

ii) $\sqrt{mn}=12=>\sqrt{m(-16)}=12=>m(-16)=12^{2}=>m(-16)=144=>m=\frac{144}{-16}=>m=-9$

Portanto, temos:

m = 16 e n = 9

ou

m = -9 e n = -16