Question

A média da área de um quadrado pode ser calculada atraves da função m(x)= -X2 +40x, em que x representa a medida de um dos lados desse quadrado e m(x) representa a área. Qual será a medida máxima da area desse quadrado?
A) 820
B) 800
C) 400
D) 40
E) 20

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Mariaclara, que a resolução é simples.
Tem-se que a área de um quadrado poderá ser dada pela seguinte função:

m(x) = - x² + 40x       

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Note que a equação da área do quadrado acima terá um ponto de máximo, pois o termo "a" é negativo (o termo "a' é o coeficiente de x²).
E o ponto de máximo de uma equação do 2º grau é dado pelo "x" e pelo "y" do vértice (xv; yv), cujas fórmulas são estas:

xv = -b/2a
e
yv = -Δ/4a ---- sendo Δ = b² - 4ac.

ii) Então vamos encontrar, a partir da equação dada [m(x) = - x²+40x] o "x" do vértice e o "y" do vértice. Assim:

xv = -b/2a ---- substituindo-se "b" por "40" e "a" por "-1", teremos:
xv = -40/2*(-1)
xv = -40/-2 ---- como, na divisão, menos com menos dá mais, teremos:
xv = 40/2
xv = 20 <--- Esta é  medida do lado do quadrado que dá a área máxima.

Agora vamos encontrar qual é essa área máxima. Há duas formas de você encontrar a área máxima, que são estas:

ii.1) Ou você substitui na função dada [m(x) = - x² + 40x] o "x' por "20" (conforme encontramos aí em cima) e obtém o valor da área máxima. Fazendo isso, teremos:

m(20) = -20² + 40*20
m(20) = -400 + 800
m(20) = 400 <--- Este é o valor da área máxima do quadrado da sua questão.

ii.2) Ou você aplica a fórmula do "y" do vértice, que é esta:

yv = -Δ/4a ---- como Δ = b²-4ac, teremos:
yv = - (b²-4ac)/4a ---- substituindo-se "b" por "40", "a' por "-1" e "c" por "0" (pois a equação da sua questão não tem o termo "c", por isso ele é "0"), teremos:

yv = - (40² - 4*(-1)*0)/4*(-1)
yv = - (1.600 + 0)/-4
yv = - (1.600)/-4 --- ou apenas:
yv = -1.600/-4 ---- como, na divisão, menos com menos dá mais, teremos:
yv = 1.600/4
yv = 400 <--- Note que a resposta sobre a área máxima do quadrado é a mesma que encontramos anteriormente, o que confirma o acerto dos dois métodos de encontrar o "y" do vértice (yv).

iii) Assim, a área máxima do quadrado da sua questão será (chamando a área de "A"):

A = 400 <--- Esta é a resposta. Opção "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.