A média aritmética de duas raízes da equação x³-10x²+kx-14=0 é igual ao dobro da terceira raiz. A diferença entre maior e menor raiz da equação é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Sejam m, n e p as raízes dessa equação.
=> Soma das raízes
A soma das raízes é dada por:
S = -b/a
Assim:
S = -(-10)/1
S = 10/1
S = 10
Desse modo:
m + n + p = 10
Sabemos que a média aritmética de duas raízes é igual ao dobro da terceira raiz.
Podemos escrever:
(m + n)/2 = 2p
m + n = 2.2p
m + n = 4p
Substituindo m + n por 4p em m + n + p = 10, temos:
4p + p = 10
5p = 10
p = 10/5
p = 2
Uma das raízes é 2
m + n + p = 10
m + n + 2 = 10
m + n = 10 - 2
m + n = 8
A soma das outras duas raízes é 8
=> Produto das raízes
O produto das raízes é dado por:
P = -d/a
P = -(-14)/1
P = 14/1
P = 14
Assim:
m.n.2 = 14
m.n = 14/2
m.n = 7
O produto das outras duas raízes é 7 e a soma dessas raízes é 8
Para obter produto 7, temos as possibilidades:
=> -1 e -7 (soma -1 - 7 = -8)
=> 1 e 7 (soma 1 + 7 = 8)
Então, as outras duas raízes são 1 e 7
As raízes da equação são 1, 2 e 7
A diferença entre maior e menor raiz é 7 - 1 = 6
Letra D