Question

a matriz A=(ais) 3x3 onde ay= 1+ inj Seja Calcule o valor de :
a) A matriz A A
b) Determinante de A​

Answer 1

Resposta:

Vamos lá.

Tem-se as seguintes matrizes de 3ª ordem:

i) Para a matriz A, teremos:

A = (aij)3x3 com a seguinte lei de formação:

aij = 1, se i ≥ j
e
aij = 2, se i < j

Veja que a matriz A = (aij)3x3 (três linhas e três colunas) terá a seguinte conformação:

.......|a₁₁....a₁₂....a₁₃|
A = |a₂₁....a₂₂....a₂₃|
.......|a₃₁....a₃₂....a₃₃|

Agora vamos pra lei de formação, que é esta:

aij = 1, se i ≥ j
e
aij = 2, se i < j

Assim, cada elemento da matriz A será obtido da seguinte forma:

a₁₁ = 1 (pois i = j)
a₁₂ = 2 (pois i < j)
a₁₃ = 2 (pois i < j)
a₂₁ = 1 (pois i > j)
a₂₂ = 1 (pois i = j)
a₂₃ = 2 (pois i < j)
a₃₁ = 1 (pois i > j)
a₃₂ = 1 (pois i > j)
a₃₃ = 1 (pois i = j)

Assim, a matriz A seja constituída dos seguintes elementos:

.......|1....2....2|
A = |1....1....2| <--- Esta é a matriz A.
.......|1....1....1|

ii) Para a matriz B teremos:

B = (bij)3x3 com a seguinte lei de formação:

bij = - 1, se i ≥ j
e
bij = 1, se i < j

Veja que a matriz B = (bij)3x3 (três linhas e três colunas) terá a seguinte conformação:

.......|b₁₁....b₁₂....b₁₃|
B = |b₂₁....b₂₂....b₂₃|
.......|b₃₁....b₃₂....b₃₃|

Agora vamos pra lei de formação de cada elemento da matriz B, que é esta:

bij = - 1, se i ≥ j
e
bij = 1, se i < j

Assim:

b₁₁ = - 1 (pois i = j)
b₁₂ = 1 (pois i < j)
b₁₃ = 1 (pois i < j)
b₂₁ = -1 (pois i > j
b₂₂ = -1 (pois i = j)
b₂₃ = 1 (pois i < j)
b₃₁ = -1 (pois i > j)
b₃₂ = -1 (pois i > j)
b₃₃ = -1 (pois i = j)

Assim, a matriz B será esta:

.......|-1....1....1|
B = |-1...-1....1|
.......|-1...-1...-1|

iii) Como já temos as duas matrizes, vamos encontrar a matriz resultante de A + B. Assim, teremos:

............. |1....2....2| + |-1....1....1| = |1+(-1)......2+1..........1+1|
A + B = |1....1....2| + |-1...-1....1| = |1+(-1)....1+(-1)........2+1|
..............|1....1....1| + |-1...-1...-1| = |1+(-1)....1+(-1)....1+(-1)|

....|1-1....2+1....1+1| = |0....3....2|
= |1-1.....1-1.....2+1| = |0....0....3| <--- Esta é a matriz resultante A+B.
...|1-1.....1-1.....1-1| = |0.....0....0|

iii) Agora veja: é pedido o valor do determinante da matriz resultante A+B.
Como vemos aí em cima, a matriz resultante (A+B) tem duas filas constituída apenas de zeros (que é a primeira coluna e a terceira linha). Note que bastaria apenas uma fila ser constituída apenas por zeros para que o determinante dessa matriz seja igual a zero. No caso da nossa matriz temos duas filas constituídas por zeros. Assim, por mais forte razão, o determinante dessa matriz será igual a zero..
Logo, sem nem necessitar calcular, já poderemos afirmar que o determinante (d) da matriz resultante (A+B) será:

Explicação passo a passo: