Question

A maior pista de teste de alta velocidade para automóveis é o anel de Nardo, localizada na Itália, possuindo 12 km de extensão. Considerando pi= 3 e que a pista seja plana e horizontal. Se um automóvel fizer várias voltas com aceleração centrípeta de 19,2 m/s², então o período do automóvel nessa pista é, em segundos:

a)90
b) 110
c) 150
d) 210
e) 171

Obs: resposta certa é C. Só preciso da resolução.

Answer 1

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Pelo contexto em que o problema é apresentado, temos uma pista circular (o anel) cuja extensão (comprimento) é

$\mathsf{C=12~km}$


Encontrando o raio dessa pista:

$\mathsf{C=2\pi R}\\\\ \mathsf{R=\dfrac{C}{2\pi}}\\\\\\ \mathsf{R=\dfrac{12}{2\cdot 3}}\\\\\\ \mathsf{R=\dfrac{12}{6}}\\\\\\\mathsf{R=2~km} \\\\\\\mathsf{R=2\,000~m}\qquad\quad\checkmark$


Sendo

•   $\omega$ a velocidade angular;

•   T o período;

•    $\mathsf{a_c}$ a aceleração centrípeta;


temos que

$\mathsf{a_c=\omega^2 R}\qquad\quad\left(\textsf{mas }\mathsf{\omega=\dfrac{2\pi}{T}}\right)\\\\\\ \mathsf{a_{cp}=\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2\cdot R}\\\\\\ \mathsf{a_{cp}=\dfrac{4\pi^2 R}{T^2}}$

$\mathsf{T^2=\dfrac{4\pi^2 R}{a_c}}\\\\\\ \mathsf{T=\sqrt{\dfrac{4\pi^2 R}{a_c}}}\\\\\\ \mathsf{T=\sqrt{\dfrac{4\cdot 3^2\cdot 2\,000}{19,\!2}}}\\\\\\ \mathsf{T=\sqrt{\dfrac{72\,000}{19,\!2}}}$

$\mathsf{T=\sqrt{3\,750}~s}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{T\approx 61,\!2~s} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$

(este é o período procurado)

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Vamos verificar esse valor para mostrar que nenhuma das alternativas está correta:


Calculando a velocidade angular

$\mathsf{\omega=\dfrac{2\pi}{T}}\\\\\\ \mathsf{\omega=\dfrac{2\cdot 3}{\sqrt{3\,750}}}\\\\\\ \mathsf{\omega=\dfrac{6}{\sqrt{3\,750}}~rad/s}\\\\\\ \mathsf{\omega\approx 0,\!098~rad/s}\qquad\quad\checkmark$


Calculando a aceleração centrípeta:

$\mathsf{a_c=\omega^2\cdot R}\\\\ \mathsf{a_c=\left(\dfrac{6}{\sqrt{3\,750}} \right )^2\cdot 2\,000}\\\\\\ \mathsf{a_c=\dfrac{36}{3\,750}\cdot 2\,000}\\\\\\ \mathsf{a_c=\dfrac{72\,000}{3\,750}}\\\\\\ \mathsf{a_c=19,\!2~m/s^2}\qquad\quad\checkmark$


Nenhuma das alternativas é a correta.