Question

a) Log2 (x-2) =log4 (2x+4)
b) log2 (x-2) + 2 log4 X=3 log8 (2x)

Answer 1

$a)\ log_2 (x-2)=log_4 (2x+4)\Rightarrow log_2 (x-2)=\dfrac{log_2 (2x+4)}{log_2 4}\Rightarrow\\ \\ \\ log_2 (x-2)=\dfrac{log_2 (2x+4)}{2}\Rightarrow 2\cdot log_2 (x-2)=log_2 (2x+4)\Rightarrow\\ \\ \\ log_2 (x-2)^{2}=log_2 (2x+4)\Rightarrow (x-2)^{2}=(2x+4)\Rightarrow\\ \\ x^{2}-4x+4=2x+4\Rightarrow x^{2}-6x=0\Rightarrow x(x-6)=0\Rightarrow\\ \\ x_{1}=0\\ x_{2}\Rightarrow x-6=0\Rightarrow x=6$

O resultado x = 0 não serve pois faria com que o o logaritmando do $log_2 (x-2)$ fosse menor que zero. Portanto o valor de x = 6



$b)\ log_2 (x-2)+2log_4 x=3log_8 (2x)\Rightarrow\\ \\ \\ log_2 (x-2)+2\cdot \dfrac{log_2 x}{log_2 4}=3\cdot \dfrac{log_2 (2x)}{log_2 8}\Rightarrow\\ \\ \\ log_2 (x-2)+2\cdot \dfrac{log_2 x}{2}\right)=3\cdot \dfrac{log_2 (2x)}{3}\Rightarrow\\ \\ \\ log_2 (x-2)+log_2 x=log_2 (2x)\Rightarrow log_2 (x-2)\cdot x =log_2 (2x)\Rightarrow \\ \\ (x-2)\cdot x =2x\Rightarrow x^{2}-2x=2x\Rightarrow x^{2}-4x=0\Rightarrow x\left(x-4\right)=0\\ \\ x_{1}=0\\ x_{2}\Rightarrow x-4=0\Rightarrow x=4$

Devido ao mesmo caso anterior, o único valor possível é x = 4