Question

A Lei de Decaimento Radioativo se baseia no fato de que certos materiais radioativos se


desintegram (ou decaem) a uma taxa de variação proporcional à quantidade presente no


material, isto é, o número de átomos que se decompõem por unidade de tempo numa massa de


átomos instáveis dependem do total dos átomos existentes.


Quando não conhecemos o material radioativo, devemos determinar o valor da constante de


decaimento λ , o que pode ser feito através da característica de “meia-vida” do material (que


pode ser determinada através de análises em laboratórios químicos). “Meia-vida” é o tempo


necessário para desintegrar a metade do material. Tomando como exemplo, a meia-vida do Carbono-14 que é de aproximadamente 5.730 anos.(ALVES,2010). Determinar as relações existentes entre o decaimento com o cálculo diferencial e integral, que configura a expressão do decaimento, como uma E

Answer 1

Resposta:

Podemos relacionar a quantidade de partículas e o tempo através da seguinte função: $N(t)=N_0\times e^{-\lambda t}$

Explicação passo-a-passo:

O tempo de meia vida de uma substância está relacionada com o cálculo diferencial e integral. Inicialmente, vamos escrever a quantidade de partículas de uma substância (N) em função do tempo (t).

Nesse caso, podemos calcular a variação dessa quantidade de partículas em função do tempo. Essa variação está relacionada com a derivação. Então:

$\frac{dN}{dt}=- \lambda N$

Onde N é a quantidade de partículas e λ é uma constante que determina a proporção de partículas em função da quantidade inicial. Note que esse valor é negativo, pois o tempo de meia vida está relacionado a desintegração, ou seja, a perda de partículas.

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 1/N, de modo a ficar com a seguinte expressão:

$\frac{1}{N}\times \frac{dN}{dt}=-\lambda$

De maneira análoga, vamos multiplicar ambos os lados da equação por dt, para remover esse valor do denominador.

$\frac{1}{N}\times dN}=-\lambda\times dt$

Nesse momento, podemos aplicar a integral em ambos os lados da equação, resultando na seguinte expressão:

$\int \frac{1}{N}\times dN}=\int -\lambda\times dt$

Dessa maneira, podemos calcular a primitiva em ambos os lados. No caso da fração, temos o logaritmo neperiano mais uma constante. No caso da constante, temos ela mesmo multiplicada pelo derivativo (t).

$ln(N)+c_1=- \lambda t+c_2$

Podemos unir essas constantes em uma constante diferente, a qual vamos chamar de C. Então, isolando o logaritmo, temos:

$ln(N)=- \lambda t+C$

Agora, vamos aplicar o número de Euler em ambos os lados, de modo a remover o logaritmo neperiano da equação.

$e^{ln(N)}=e^{- \lambda t+C}\\ \\ N=e^{- \lambda t+C}\\ \\ N=e^{- \lambda t}\times e^{C}$

Agora, note que C é uma constante arbitrária, onde podemos ter qualquer valor. Assim, consideramos essa parcela como a quantidade inicial de partículas.

Por fim, a função que relaciona a meia vida de uma substância em função do tempo decorrido é:

$N(t)=N_0\times e^{-\lambda t}$