Question

A interseção da reta de equação x -3y+6=0 com os eixos coordenados são as extremidades de um diâmetro da circunferência, cuja equação é?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução também é simples.
Note que quando uma equação intercepta os eixos coordenados, temos a seguinte situação:

i) Quando a equação x - 3y + 6 = 0 estiver interceptando o eixo dos "x", então, nesse ponto o "y" será igual a zero. Então, fazendo y = 0, teremos, quando a equação estiver passando pelo eixo dos "x":

x - 3*0 + 6 = 0
x - 0 + 6 = 0
x + 6 = 0
x = - 6 <---- Este será o valor de "x" quando o "y" for igual a zero.
Ou seja, este ponto chamaremos de ponto P(x; y) = P(-6; 0).

ii) Quando a equação x - 3y + 6 = 0 estiver interceptando o eixo dos "y", então, nesse ponto o "x" será igual a zero. Então, fazendo x = 0, teremos, quando a equação estiver passando pelo eixo dos "y":

0 - 3y + 6 = 0
- 3y + 6 = 0
- 3y = - 6 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
3y = 6
y = 6/3
y = 2 <--- Este será o valor de "y" quando "x' for igual a zero.
Ou seja, este ponto chamaremos de ponto Q(x; y) = Q(0; 2)

iii) Agora veja: como o segmento de reta que ligará esses dois pontos será o diâmetro da circunferência, então vamos calcular a sua medida. Para isso, calcularemos a distância (d) entre os pontos P(-6; 0) e Q(0; 2). Assim:

d² = (0-(-6))² + (2-0)²
d² = (0+6)² + (2-0)²
d² = (6)² + (2)²
d² = 36 + 4
d² = 40
d = ± √(40) ---- note que 40 = 2³.5 = 2².2.5 = 2².10 . Assim:
d = ± √(2².10) ---- o "2" por estar ao quadrado, sairá de dentro da raiz quadrada, ficando:

d = ± 2√(10) ----- como a distância não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

d = 2√(10) u.m. ----- (u.m. = unidades de medida). Esta é a medida do diâmetro da circunferência da sua questão.

iv) Agora veja: todo diâmetro é o dobro do raio de uma circunferência.
Então, chamando o raio de "r", teremos que o raio dessa circunferência será:

r = 2√(10) / 2
r = √(10) u.m. <---- Esta é a medida do raio da circunferência.

v) Agora vamos encontrar o centro dessa circunferência.Para isso, basta que calculemos o ponto médio entre os pontos P(-6; 0) e Q(0; 2). Assim, chamando o ponto médio de M, teremos;

M = [(-6+0)/2; (0+2)/2]
M = [(-6)/2; (2)/2]
M = (-3; 1) <---- Este será o centro da circunferência da sua questão.

vi) Agora veja: quando já conhecemos o centro de uma circunferência C(x₀; y₀) e raio = r, a sua equação reduzida é encontrada da seguinte forma:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²

Assim, tendo a expressão acima como parâmetro, então a equação reduzida da equação da sua circunferência, que tem centro em C(-3; 1) e raio = √(10), será esta:

(x-(-3))² + (y-1)² = [√(10)]² ---- desenvolvendo, teremos;
(x+3)² + (y-1)² = 10 <---- Esta é a equação reduzida da circunferência da sua questão.

Se você quiser a equação geral, então é só desenvolver os quadrados a partir da equação reduzida acima e colocar o "10" para o 1º membro. Fazendo isso, teremos:

x²+6x+9 + y²-2y+1 =10 ---- ordenando e colocando "10" para o1º membro,temos:

x² + y² + 6x -2y + 9 + 1 - 10 = 0---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
x² + y² + 6x - 2y +10 - 10 = 0 ----- como "+10" se anula "-10", teremos:
x² + y² - 6x - 2y = 0 <---- Esta é a equação geral da circunferência da sua questão.

Você escolhe qual a equação quer apresentar (se a equação reduzida ou se a equação geral), dependendo do que a questão pedir.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.