Question

A integral indefinida da função f(x) = x³ é:

Answer 1

A primitiva de uma dada função $f: D \to \mathbb{R}$ é uma função diferenciável $F: D \to \mathbb{R}$, com $D \subseteq \mathbb{R}$, tal que $F' = f$. Podemos então escrever:

$F(x) = \displaystyle\int f(x)\textrm{ d}x +C,$

com $C \in \mathbb{R}$ uma constante de integração.

Observando a regra da derivada de uma potência, temos:

$(x^n)' = nx^{n-1}.$

Fazendo $n \to n+1$, fica:

$(x^{n+1})' = (n+1)x^n \iff x^n = \dfrac{(x^{n+1})'}{n+1} \iff\\\\\iff \displaystyle \int x^n\textrm{ d}x = \int\dfrac{(x^{n+1})'}{n+1}\textrm{ d}x \iff \int x^n\textrm{ d}x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C,$

desde que $n+1 \neq 0 \iff n \neq -1$.

Portanto, para $n = 3$, vem:

$\displaystyle\int x^3 \textrm{ d}x = \dfrac{x^{3+1}}{3+1} + C = \dfrac{x^4}{4} + C.$

Resposta: $\boxed{\displaystyle\int x^3 \textrm{ d}x = \dfrac{x^{3+1}}{3+1} + C = \dfrac{x^4}{4} + C}.$