Question

A instalação de radares para controle de velocidade de veículos em grandes avenidas de
uma cidade proporcionou uma diminuição do número de acidentes. Esse número pode
ser calculado pela lei: n(t) = n(0).0,8t sendo n(0) o número de acidentes anuais registrado no ano da instalação dos radares e n(t) o número de acidentes anuais t anos depois. Qual é o tempo necessário para que o número de acidentes se reduza à quarta parte da quantidade registrada no ano da instalação dos radares? (Use a aproximação log 2 =
0,3).

Answer 1

O tempo para se reduzir o número de acidentes à quarta parte é 6 anos.

A lei que calcula o número de acidentes é

$n(t)= n(0)\cdot 0,8^t$

Esta lei pode ser escrita de forma equivalente como

$n(t)= n(0)\cdot \left(\dfrac{8}{10}\right)^t$

Para encontrar o valor de t que reduz osacidente à quarta parte, precisamos definir a igualdade:

$n(0)\cdot \left(\dfrac{8}{10}\right)^t=\dfrac{1}{4}n(0)$

Agora resta aplicar o logarítmo:

$Log(n(0)\cdot \left(\dfrac{8}{10}\right)^t)=Log(\dfrac{1}{4}n(0))$

Usando as propriedades do logaritmo do produto e o logaritmo do quociente, obtemos:

$Log(n(0)) + t\cdot (Log(8) - Log(10))=Log(\dfrac{1}{4})+Log(n(0))$

Repare que temos Log(0) nos dois lados da igualdade. ou seja, temos Log(0) + a  = Log(0) + b

Isto significa que a = b (e podemos "cortar" o Log(0) )

$t\cdot (Log(8) - Log(10))=Log(\dfrac{1}{4})$

Vamos aplicar a propriedade do log do produto para a fração 1/4:

$t\cdot (Log(8) - Log(10))=Log(1) - Log(4)$

E lembrando que Log(1) = 0 :

Além disso, Log(10) = 1 (pois é log na base 10)

$t\cdot (Log(8) - 1)=- Log(4)$

Agora vamos escrever 4 e 8 como potencias de 2:

$t\cdot (Log(2^3) - 1)=- Log(2^2)$

Lembre agora que Log(2) = 0,3

Isto significa que $Log (2^2) = 2*0,3$ e $Log (2^3) = 3*0,3$

Portanto

$t\cdot (0,9 - 1)=-0,6$

$t\cdot (-0,1)=-0,6$

$t=\dfrac{-0,6}{-0,1)$

E assim chegamos à conclusão que t = 6 anos