Question

a imagem a seguir representa um guindaste. Os pontos A, B, C e D são coplanares e formam um quadrilátero convexo cujos ângulos ABD e BCD são retos. O ângulo DBC tem o dobro da medida do ângulo BAD. os suportes representados pelos segmentos BD e BC medem respectivamente 2,25 m e 1,75 m.

O braço do guindaste, representado pelo segmento AD tem comprimento, em metro, igual a:

A - 3,50
B - 4,00
C - 4,50
D - 5,25
E - 6,75

Answer 1

Considere que o ângulo BAD = y. Então, o ângulo DBC = 2y. Além disso, considere que AD = x.

No triângulo ΔABD temos que:

$sen(y)=\frac{2,25}{x}$

Já no triângulo ΔBCD temos que:

$cos(2y)=\frac{1,75}{2,25}$

O cosseno do arco duplo é calculado da seguinte maneira:

cos(2a) = cos²(a) - sen²(a)

Precisamos calcular o valor de cos²(y).

Para isso, utilizaremos a relação fundamental da trigonometria:

sen²(y) + cos²(y) = 1

$(\frac{2,25}{x})^2+cos^2(y)=1$

$cos^2(y)=1-\frac{5,0625}{x^2}$

Assim, temos que:

$\frac{1,75}{2,25}=1-\frac{5,0625}{x^2}-\frac{5,0625}{x^2}$

$\frac{1,75}{2,25}=\frac{x^2-10,125}{x^2}$

Multiplicando cruzado:

1,75x² = 2,25x² - 22,78125

0,5x² = 22,78125

x² = 45,5625

x = 6,75

Portanto, o braço do guindaste tem comprimento igual a 6,75 metros.

Alternativa correta: letra e).