Question

A igualdade contida na imagem é uma identidade trigonométrica?

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$\sf \frac{ sec(x) - cos(x)}{cossec(x) - sen(x)} = tg^{3} (x)$

A questão quer saber se essa expressão é ou não uma identidade trigonométrica, para isso vamos começar expandindo as expressões. Como sabemos:

$\sf sec(x) = \frac{1}{cos(x)} \\ \\ \sf cossec(x) = \frac{1}{ sen(x)} \\ \\ \sf \sf tg(x) = \frac{ sen(x)}{cos(x)}$

Substituindo essas informações na expressão:

$\sf \frac{ \frac{1}{cos(x)} - cos(x) }{ \frac{1}{sen(x)} - sen(x)} = \frac{sen {}^{3}(x) }{cos {}^{3} (x)} \\ \\ \sf \frac{ \frac{1 - cos {}^{2} (x)}{cos(x)} }{ \frac{1 - sen {}^{2} (x)}{sen(x)} } = \frac{sen {}^{3}(x) }{cos {}^{3} (x)} \\ \\ \sf \frac{1 - cos {}^{2} (x)}{cos(x)} . \frac{sen(x)}{1 - sen {}^{2} (x) } = \frac{sen {}^{3}(x) }{cos {}^{3} (x)}$

Como sabemos pela relação fundamental da trigonometria;

$\sf sen {}^{2} (x) + cos {}^{2} (x) = 1 \\ \sf sen {}^{2} (x) = 1 - cos {}^{2} (x) \\ \sf cos {}^{2} (x) = 1 - sen {}^{2} (x)$

Substituindo essas informações:

$\sf \frac{sen {}^{2} (x)}{ cos(x)}. \frac{sen(x)}{cos {}^{2} (x)} = \frac{sen {}^{3}(x) }{cos {}^{3} (x)} \\ \\ \sf \frac{sen {}^{3}(x) }{cos {}^{3} (x)} = \frac{sen {}^{3}(x) }{cos {}^{3} (x)}$

• Portanto, podemos concluir que é de fato uma identidade trigonométrica