Question

A função y = x2 - 2x + 6 indica, para números positivos do domínio, menores que 10, a
variação do volume de água y em um recipiente em função do tempo x. Sabe-se que
y é dado em litros, enquanto x é medido em segundos. Qual deverá ser, nessas
condições, a menor quantidade de água nesse recipiente?

Answer 1

Neste "problema da vida real", quando interpretado à luz da matemática, é pedido o mínimo da função dada, dentro do Domínio indicado.

Para tal, podemos recorrer ao estudo do sinal da primeira derivada,  $f'$ , da função.

Relembremos, para isso, algumas regras de derivação mais comuns:

Sejam  $a,b\in\mathbb{R}$  e  $u$  e  $v$  expressões em x:

• $a'=0$

• $\left(ax^b\right)'=a\times b\times x^{b-1}$

• $\left(u+v\right)'=u'+v'$

• $\left(u\times v\right)'=u'\times v+u\times v'$

• $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2}$

• $\left(u^a\right)'=a\times u^{b-1}\times u'$

• $\left(e^u\right)'=u'\times e^u$

• $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$

• $\left(\log_a u\right)'=\dfrac{u'}{u\times\ln a}$

• $\left(\sin u\right)'=u'\times\cos u$

• $\left(\cos u\right)'=-u'\times\sin u$

• $\left(\tan u\right)'=\dfrac{u'}{\cos^2 u}$

Com isto em mente, resolvamos o exercício.

Dada a função  $f(x)=x^2-2x+6$  de Domínio  $D_f=\;]\:0\;;10\:[$ , temos:

    $f'(x)=(x^2-2x+6)'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=(x^2)'-(2x)'+(6)'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=2x-2+0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=2x-2$

    $f'(x)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow2x-2=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow2x=2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=1$

  x   |0        | 1 |        10                Como o vértice do gráfico de

f'(x)  |     -    | 0 |    +                     uma função é sempre um máximo

f(x)   |   $\searrow$   |min|   $\nearrow$                    ou um mínimo, o vértice tem x = 1.

$f(1)=1^2-2\times1+6=1-2+6=-1+6=5$

Resposta: A menor quantidade de água no recipiente é de 5 litros e dá-se 1 segundo depois de ser começada a contagem.

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